O是平面上一定點(diǎn)，A，B，C平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足
OP
=
OA
+λ(
AB
|
AB
|∠cosABC
+
AC
|
AC
|cos∠BCA
)，λ∈R，則P的軌跡一定通過△ABC的（　　）
A、外心B、內(nèi)心C、重心D、垂心
分析：作數(shù)量積
BC
•
AB
|
AB
|cos∠ABC
=
|
BC
| |
AB
|cos(π-B)
|
AB
|cos∠ABC
=-|
BC
|，同理
BC
•
AC
|
AC
|cos∠ACD
=|
BC
|．
由于動(dòng)點(diǎn)P滿足
OP
=
OA
+λ(
AB
|
AB
|∠cosABC
+
AC
|
AC
|cos∠BCA
)，λ∈R．可得
AP
=λ(
AB
|
AB
|cos∠ABC
+
AC
|
AC
|cos∠ACD
)，λ∈R．得到
AP
•
BC
=λ(
BC
•
AB
|
AB
|cos∠ABC
+
BC
•
AC
|
AC
|cos∠ACD
)=0，即可判斷出．
解答：解：如圖所示，過點(diǎn)A作AD⊥BC，垂足為D點(diǎn)．精英家教網(wǎng)
則
BC
•
AB
|
AB
|cos∠ABC
=
|
BC
| |
AB
|cos(π-B)
|
AB
|cos∠ABC
=-|
BC
|，
同理
BC
•
AC
|
AC
|cos∠ACD
=|
BC
|，
∵動(dòng)點(diǎn)P滿足
OP
=
OA
+λ(
AB
|
AB
|∠cosABC
+
AC
|
AC
|cos∠BCA
)，λ∈R．
∴
AP
=λ(
AB
|
AB
|cos∠ABC
+
AC
|
AC
|cos∠ACD
)，λ∈R．
∴
AP
•
BC
=λ(
BC
•
AB
|
AB
|cos∠ABC
+
BC
•
AC
|
AC
|cos∠ACD
)=λ(-|
BC
|+|
BC
|)=0，
∴
AP
⊥
BC
，
因此P的軌跡一定通過△ABC的垂心．
故選：D．
點(diǎn)評：本題考查了數(shù)量積運(yùn)算、三角形的垂心性質(zhì)，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

O是平面上一定點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足
OP
=
OA
+λ(
AB
|
AB
|
+
AC
|
AC
|
)，λ∈[0，+∞），則P的軌跡一定通過△ABC的（　�。�
A、外心B、內(nèi)心C、重心D、垂心

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

O是平面上一定點(diǎn)，A，B，C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足
OP
=
OA
+λ(
AB
|
AB
|
+
AC
|
AC
|
)，λ∈[0，+∞)，則P的軌跡一定通過△ABC的
 
心．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

O是平面上一定點(diǎn)，A，B，C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足
OP
=
OA
+λ(
AB
+
AC
)，λ∈[0，+∞），則P的軌跡一定通過△ABC的
 
心．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知O是平面上一定點(diǎn)，A﹑B﹑C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足
OP
=
OA
+λ（
AB
|
AB
|sinB
+
AC
|
AC
| sinC
）λ∈[0，+∞），則點(diǎn)P的軌跡一定通過△ABC的（　　）
A、外心B、內(nèi)心C、重心D、垂心

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

O是平面上一定點(diǎn)，A，B，C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足
OP
=
OA
+λ(
AB
+
AC
)，λ∈[0，+∞），則P的軌跡一定通過△ABC的（　�。�
A、外心B、垂心C、內(nèi)心D、重心

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