Question

4．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1+ln（x+1）}{x}$．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的圖象在點x=1處的切線的斜率；
（Ⅱ）若當(dāng)x＞0時，f（x）＞$\frac{k}{x+1}$恒成立，求正整數(shù)k的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計算f′（1）即可；
（Ⅱ）問題轉(zhuǎn)化為$h（x）=\frac{（x+1）[1+ln（x+1）]}{x}＞k$對x＞0恒成立，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出h（x）的最小值，從而求出正整數(shù)k的最大值．

解答 解：（Ⅰ）∵f′（x）=-$\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{\frac{x}{x+1}-ln（x+1）}{{x}^{2}}$，
∴$f'（1）=-1+\frac{1}{2}-ln2=-（\frac{1}{2}+ln2）$…（3分）
（Ⅱ）當(dāng)x＞0時，$f（x）＞\frac{k}{x+1}$恒成立，
即$h（x）=\frac{（x+1）[1+ln（x+1）]}{x}＞k$對x＞0恒成立．
即h（x）（x＞0）的最小值大于k．…（5分），
$h'（x）=\frac{x-1-ln（x+1）}{x^2}$，記ϕ（x）=x-1-ln（x+1）（x＞0）
則$ϕ'（x）=\frac{x}{x+1}＞0$，所以ϕ（x）在（0，+∞）上連續(xù)遞增．…（7分）
又ϕ（2）=1-ln3＜0，ϕ（3）=2-2ln2＞0，
所以ϕ（x）存在唯一零點x₀，
且滿足x₀∈（2，3），x₀=1+ln（x₀+1）．…（9分）
由x＞x₀時，ϕ（x）＞0，h'（x）＞0；
0＜x＜x₀時，ϕ（x）＜0，h'（x）＜0知：
h（x）的最小值為$h（{x_0}）=\frac{{（{x_0}+1）[1+ln（{x_0}+1）]}}{x_0}={x_0}+1∈（3，4）$．
所以正整數(shù)k的最大值為3．…（12分）

點評 本題考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，是一道中檔題．