Question

4．已知a＞0，b≥0，c≥0且$\left\{\begin{array}{l}{b+2c≥2a}\\{b+4c≤4a}\\{b-c≤2a}\end{array}\right.$，則$\frac{c+a}{b+a}$的取值范圍是[$\frac{1}{3}$，2]．

Answer 1

分析 利用消參法將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，利用換元法轉(zhuǎn)化為關(guān)于x，y的二元一次不等式組，作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用線(xiàn)性規(guī)劃的知識(shí)進(jìn)行求解．

解答 解：不等式等價(jià)為$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a}+\frac{2c}{a}≥2}\\{\frac{a}+\frac{4c}{a}≤4}\\{\frac{a}-\frac{c}{a}≤2}\end{array}\right.$，$\frac{c+a}{b+a}$=$\frac{\frac{c}{a}+1}{\frac{a}+1}$，
設(shè)$\frac{a}$=x，$\frac{c}{a}$=y，則x≥0，y≥0，
則不等式組等價(jià)為$\left\{\begin{array}{l}{x≥0，y≥0}\\{x+2y≥2}\\{x+4y≤4}\\{x-y≤2}\end{array}\right.$，目標(biāo)函數(shù)等價(jià)為$\frac{y+1}{x+1}$，
作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖
則$\frac{y+1}{x+1}$的幾何意義是區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)到點(diǎn)D（-1，-1）的斜率，
由圖象知，AD的斜率最大，BD的斜率最小，
其中A（0，1），B（2，0），
則$\frac{y+1}{x+1}$的最大值為$\frac{1+1}{0+1}=2$，最小值為$\frac{0+1}{2+1}$=$\frac{1}{3}$，
即$\frac{c+a}{b+a}$的取值范圍是[$\frac{1}{3}$，2]，
故答案為：[$\frac{1}{3}$，2]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查線(xiàn)性規(guī)劃的應(yīng)用，利用消參法和換元法轉(zhuǎn)化為二元一次不等式組，利用線(xiàn)性規(guī)劃以及直線(xiàn)斜率的幾何意義是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)．