【題目】已知函數(shù)(a,).
(1)若,且在內(nèi)有且只有一個零點,求a的值;
(2)若,且有三個不同零點,問是否存在實數(shù)a使得這三個零點成等差數(shù)列?若存在,求出a的值,若不存在,請說明理由;
(3)若,,試討論是否存在,使得.
【答案】(1)(2)存在;a的值為(3)答案不唯一,具體見解析
【解析】
(1),,討論和兩種情況,分別計算函數(shù)的單調(diào)性,再根據(jù)零點個數(shù)得到參數(shù).
(2),根據(jù)題意,計算得到,,計算得到答案.
(3),,故必須在上有解,解方程得到答案.
(1)若,則,,
若,則在,則,則在上單調(diào)遞增,
又,故在上無零點,舍;
若,令,得,,,
在上,,在上單調(diào)遞減,
在上,,在上單調(diào)遞增,
故,
若,則,在上無零點,舍;
若,則,在上恰有一零點,此時;
若,則,,,
則在和上有各有一個零點,舍;
故a的值為.
(2)因為,則,若有三個不同零點,且成等差數(shù)列,可設,
故,則,故,,.
此時,,,故存在三個不同的零點.
故符合題意的a的值為.
(3)若,,,
∴若存在,使得,
必須在上有解.
,
方程的兩根為:,,
只能是,
依題意,即,
即,
又由,得,故欲使?jié)M足題意的存在,則,
∴當時,存在唯一的滿足,
當時,不存在使.
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【題目】某工廠共有50位工人組裝某種零件.下面的散點圖反映了工人們組裝每個零件所用的工時(單位:分鐘)與人數(shù)的分布情況.由散點圖可得,這50位工人組裝每個零件所用工時的中位數(shù)為___________.若將500個要組裝的零件分給每個工人,讓他們同時開始組裝,則至少要過_________分鐘后,所有工人都完成組裝任務.(本題第一空2分,第二空3分)
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】汽車的“燃油效率”是指汽車每消耗1升汽油行駛的里程,下圖描述了甲、乙、丙三輛汽車在不同速度下的燃油效率情況. 下列敘述中正確的是( )
A. 消耗1升汽油,乙車最多可行駛5千米
B. 以相同速度行駛相同路程,三輛車中,甲車消耗汽油最多
C. 甲車以80千米/小時的速度行駛1小時,消耗10升汽油
D. 某城市機動車最高限速80千米/小時. 相同條件下,在該市用丙車比用乙車更省油
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【題目】設拋物線的焦點為,直線與拋物線交于兩點.
(1)若過點,且,求的斜率;
(2)若,且的斜率為,當時,求在軸上的截距的取值范圍(用表示),并證明的平分線始終與軸平行.
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【題目】動點在拋物線上,過點作垂直于軸,垂足為,設.
(Ⅰ)求點的軌跡的方程;
(Ⅱ)設點,過點的直線交軌跡于兩點,直線的斜率分別為,求的最小值.
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【題目】足球比賽中,一隊在本方罰球區(qū)內(nèi)犯規(guī),會被判罰點球,點球是進攻方非常有效的得分手段.研究機構(gòu)對某位足球隊員的1000次點球訓練進行了統(tǒng)計分析,以幫助球員提高點球的命中率.如圖,將球門框內(nèi)的區(qū)域分成9個區(qū)域(區(qū)域代碼為1—9,球門框外的區(qū)域記做區(qū)域0),統(tǒng)計球員射點球時射中10個區(qū)域次數(shù)和進球次數(shù)(即使射中球門框內(nèi),也可能被守門員撲出),得到如下的兩個頻率分布條形圖:
(其中射中率,得分率)
(1)根據(jù)上述頻率分布條形圖,求射中球門框內(nèi)時,各區(qū)域進球數(shù)的平均數(shù)(結(jié)果保留兩位小數(shù))和中位數(shù);
(2)以該隊員這1000次點球練習的進球頻率作為他在比賽中射點球時進球的概率,設他在三次射點球時進球數(shù)為,求的分布列和期望.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】我國古代有輝煌的數(shù)學研究成果,其中《周髀算經(jīng)》,《九章算術》,《海島算經(jīng)》,《孫子算經(jīng)》,《緝古算經(jīng)》均有著十分豐富的內(nèi)容,是了解我國古代數(shù)學的重要文獻,某中學計劃將這本專著作為高中階段“數(shù)學文化”樣本課程選修內(nèi)容,要求每學年至少選一科,三學年必須將門選完,則小南同學的不同選修方式有______種.
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