Question

已知橢圓C：=1（a＞b＞0）的離心率，直線與以原點(diǎn)為圓心，以橢圓C的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓相切．
（I）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)M是橢圓的上頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M分別作直線MA，MB交橢圓于A，B兩點(diǎn)，設(shè)兩直線的斜率分別為k₁，k₂，且k₁+k₂=4，證明：直線AB過(guò)定點(diǎn)N（，-l）．

Answer 1

【答案】分析：（I）由離心率為得，由直線l與圓相切得=b，再由b²+c²=a²即可解得a，b值；
（Ⅱ）要證明直線AB過(guò)定點(diǎn)N（，-l），可證．設(shè)MA：y=k₁x+1，代入橢圓方程消掉y得x的二次方程，由韋達(dá)定理可表示點(diǎn)A坐標(biāo)，同理可得點(diǎn)B坐標(biāo)，由向量共線的條件可證；
解答：解：（I）由已知得：，解得，
故橢圓方程為：；
（Ⅱ）由（I）知M（0，1），設(shè)MA：y=k₁x+1，
由得：，
則，所以，
所以A（-，），同理可得B（-，），
所以=（，），，
所以•-===0，
故，所以A、B、N三點(diǎn)共線，即直線AB過(guò)定點(diǎn)N（-，-1）．
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程、直線方程及其位置關(guān)系，考查向量在解析幾何中的應(yīng)用，考查學(xué)生對(duì)問(wèn)題的分析轉(zhuǎn)化能力，考查轉(zhuǎn)化思想．