已知函數(shù)f(x)=ax+lnx
(1)試討論f(x)的極值
(2)設(shè)g(x)=x2-2x+2,若對(duì)?x1∈(0,+∞),?x2∈[0,1],使得f(x1)<g(x2),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
分析:(1)求導(dǎo)數(shù),利用導(dǎo)數(shù)不等式先判斷函數(shù)的單調(diào)性,從而判斷函數(shù)的極值.
(2)將f(x1)<g(x2)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題.
解答:解:(1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)椋?,+∞),f′(x)=a+
1
x
=
ax+1
x

當(dāng)a≥0時(shí)f'(x)>0,所以f(x)在(0,+∞)上為增函數(shù),此時(shí)函數(shù)不存在極值.
當(dāng)a<0時(shí),由f'(x)>0,解得0<x<-
1
a
,此時(shí)函數(shù)遞增.由f'(x)<0,解得x>-
1
a
此時(shí)函數(shù)遞減.此時(shí)函數(shù)在x=-
1
a
處取得極小值.無(wú)極大值.
綜上所述:當(dāng)a≥0時(shí),函數(shù)不存在極值.
當(dāng)a<0時(shí),函數(shù)在x=-
1
a
處取得極小值.無(wú)極大值.
(2)對(duì)?x1∈(0,+∞),?x2∈[0,1],使得f(x1)<g(x2),恒成立
由(1)知當(dāng)a≥0時(shí),f(x1)在(0,+∞)上為增函數(shù),f(x1)無(wú)最大值;
當(dāng)a<0時(shí),f(x1)max?=f(-
1
a
)=-1+ln?(-
1
a
)=-1-ln?(-a)

又g(x2)=x22-2x2+2在x2∈[0,1]上單調(diào)遞減,所以g(x2max?=g(0)=2.
所以
a<0
-1-ln(-a)<2
,解得a<-e-3
所以,實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-∞,-e-3).
點(diǎn)評(píng):本題的考點(diǎn)是利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值以及求函數(shù)的最大值最小值.
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a-x2
x
+lnx  (a∈R , x∈[
1
2
 , 2])

(1)當(dāng)a∈[-2,
1
4
)
時(shí),求f(x)的最大值;
(2)設(shè)g(x)=[f(x)-lnx]•x2,k是g(x)圖象上不同兩點(diǎn)的連線的斜率,否存在實(shí)數(shù)a,使得k≤1恒成立?若存在,求a的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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34
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(-∞,-2)
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