Question

如圖，四棱錐中，底面,且，與底面成角，點分別是的中點.

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）求二面角的大小；

（Ⅲ）當時，求異面直線所成的角.

Answer 1

（Ⅰ）證明：∵底面，底面，∴

又∵且平面， 平面， ，

∴平面；

（Ⅱ）解：∵點分別是的中點，

∴，由（Ⅰ）知平面，∴平面，

　∴，，

　∴為二面角的平面角，

　∵底面，

　∴與底面所成的角即為，

　∴＝，

　∵為直角三角形斜邊的中點，

　∴為等腰三角形，且，

　∴，∴二面角的大小為；

（Ⅲ）法１：過點作交于點，則或其補角即為異面直

　　　線所成的角，

∵為的中點,∴為為的中點, 設(shè)，則由得，又，∴　∴＝，∴，

∴由（Ⅱ）知為直角三角形，且    ，

，∴，

在直角三角形中，，

∴，

∴在三角形中，，

∴為直角三角形，為直角，

∴異面直線所成的角為．

或者用三垂線定理，首先證明DB與BC垂直也可以

因為　∴＝，又，

所以，即DB與BC垂直

法２：以點為坐標原點，建立如圖的直角坐標系，設(shè)，則，，，則

則，，，

，∴異面直線所成的角為