已知向量
a
=(cos
3x
2
，sin
3x
2
)，
b
=(cos
x
2
，-sin
x
2
)，x∈[0，
π
3
]
（1）求f(x)=
a
•
b
|
a
+
b
|
的最大值．
（2）若不等式λ
a
•
b
-
1
2
|
a
+
b
|+λ-1≤0對x∈[0，
π
3
]恒成立，求實數(shù)λ的取值范圍．
分析：（1）利用三角函數(shù)公式、向量的坐標運算得出f(x)=
a
•
b
|
a
+
b
|
=cosx-
1
2cosx
，再令t=cosx，則y=t-
1
2t
，利用單調(diào)性求出最大值即可．
（2）將原不等式化成λ（1+cos2x）≤1+cosx，將參數(shù)λ分離，得出λ≤
1+cosx
2cos2x
．同樣地利用換元法求出右邊最小值，λ小于等于最小值即可．
解答：解：（1）
a
•
b
=cos
3x
2
cos
x
2
-sin
3x
2
sin
x
2
=cos2x=2cos2x-1，
|
a
+
b
|2=
a
2+2
a
• 
b
+
b
2=1+2cos2x+1=2+2（2cos2x-1）=4cos2x，x∈[0，
π
3
]，cosx＞0，
|
a
+
b
|=2cosx．
f(x)=
a
•
b
|
a
+
b
|
=cosx-
1
2cosx
，令t=cosx，則y=t-
1
2t
，在t∈[
1
2
，1]上是增函數(shù)，當t=1時，y取得最大值
1
2
．
（2）若不等式λ
a
•
b
-
1
2
|
a
+
b
|+λ-1≤0即為
λcos2x-cosx+λ-1≤0．λ（1+cos2x）≤1+cosx，，x∈[0，
π
3
]，1+cos2x＞0，
∴λ≤
1+cosx
1+cos2x
=
1+cosx
2cos2x
．令t=cosx，則g（t）=
1+t
2t2
，g′（t）=-
1
2t2
-
1
t3
＜0，
∴g（t）在t∈[
1
2
，1]上是減函數(shù)，當t=1時，取得最小值1，所以λ≤1．
點評：本題考查向量的運算，三角函數(shù)公式的應(yīng)用，函數(shù)的性質(zhì)，不等式恒成立問題，考查換元法、分離參數(shù)法、利用導數(shù)求函數(shù)最值．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
a
=(-cosα，1+sinα)，
b
=(2sin2
α
2
，sinα)．
（Ⅰ）若|
a
+
b
|=
3
，求sin2α的值；
（Ⅱ）設(shè)
c
=(cosα，2)，求(
a
+
c
)•
b
的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
a
=(cosωx-sinωx，sinωx)，
b
=(-cosωx-sinωx，2
3
cosωx)，其中ω＞0，且函數(shù)f(x)=
a
•
b
+λ（λ為常數(shù)）的最小正周期為π．
（Ⅰ）求函數(shù)y=f（x）的圖象的對稱軸；
（Ⅱ）若函數(shù)y=f（x）的圖象經(jīng)過點(
π
4
，0)，求函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[0，
5π
12
]上的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
a
=(cos
θ
2
，sin
θ
2
)，
b
=(2，1)，且
a
⊥
b
．
（1）求tanθ的值；
（2 ）求
cos2θ
2
cos(
π
4
+θ)•sinθ
的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
a
=(cos(ωx-
π
6
)，  sin(ωx-
π
4
))，  
b
=(sin(
2
3
π-ωx)， sin(ωx+
π
4
))（其中ω＞0）．若函數(shù)f(x)=2
a
•
b
-1的圖象相鄰對稱軸間距離為
π
2
．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）求f（x）在[-
π
12
，  
π
2
]上的值域．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
a
=(cosθ，sinθ)，
b=
(cos2θ-1，sin2θ)，
c
=(cos2θ，sin2θ-
3
)．其中θ≠kπ，k∈Z．
（1）求證：
a
⊥
b
；
（2）設(shè)f(θ)=
a
•
c
，且θ∈(0，π)，求f(θ)的值域．

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