Question

17．若圓C₁：x²+y²=m與圓C₂：x²+y²-6x-8y+16=0外切．
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)m的值；
（Ⅱ）若圓C₁與x軸的正半軸交于點(diǎn)A，與y軸的正半軸交于點(diǎn)B，P為第三象限內(nèi)一點(diǎn)，且點(diǎn)P在圓C₁上，直線PA與y軸交于點(diǎn)M，直線PB與x軸交于點(diǎn)N，求證：四邊形ABNM的面積為定值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出圓的圓心坐標(biāo)，利用相切列出方程，即可求實(shí)數(shù)m的值；
（Ⅱ）求出點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，2），設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（x₀，y₀），推出點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，$\frac{2{y}_{0}}{2-{x}_{0}}$），點(diǎn)N的坐標(biāo)為（$\frac{2{x}_{0}}{2-{y}_{0}}$，0），表示出四邊形ABNM的面積，利用點(diǎn)P在圓C₁上，得x₀²+y₀²=4，化簡(jiǎn)求解即可．

解答 解：（Ⅰ）圓C₁的圓心坐標(biāo)（0，0），半徑為$\sqrt{m}$（m＞0），
圓C₂的圓心坐標(biāo)（3，4），半徑為3，圓心距為：5，
又兩圓外切，得$\sqrt{m}+3=5$，解得m=4．
（Ⅱ）由題易得點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，2），圓C₁：x²+y²=4，
設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（x₀，y₀），x₀，y₀∈（-2，0）．
由題意，得點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，$\frac{2{y}_{0}}{2-{x}_{0}}$），點(diǎn)N的坐標(biāo)為（$\frac{2{x}_{0}}{2-{y}_{0}}$，0），
四邊形ABNM的面積S=$\frac{1}{2}$|AN||BM|=$\frac{1}{2}|2-\frac{2{x}_{0}}{2-{y}_{0}}||2-\frac{2{y}_{0}}{2-{x}_{0}}|$=|$\frac{1}{2}•\frac{4-2{y}_{0}-2{x}_{0}}{2-{y}_{0}}•\frac{4-2{x}_{0}-2{y}_{0}}{2-{x}_{0}}$|=|$\frac{1}{2}•\frac{（{4-2{y}_{0}-2{x}_{0}）}^{2}}{（2-{y}_{0}）（2-{x}_{0}）}$|，
由點(diǎn)P在圓C₁上，得x₀²+y₀²=4，
∴四邊形ABNM的面積S=$\frac{4（4-2{x}_{0}-2{y}_{0}+{x}_{0}{y}_{0}）}{（2-{y}_{0}）（2-{x}_{0}）}=4$，
∴四邊形ABNM的面積為定值4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查兩個(gè)圓的位置關(guān)系以及圓的方程的綜合應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．