Question

【題目】已知函數(shù)，．

（1）若，判斷函數(shù)的奇偶性，并加以證明；

（2）若函數(shù)在上是增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；

（3）若存在實數(shù)，使得關(guān)于的方程有三個不相等的實數(shù)根，求實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）奇函數(shù)；（2）；（3）.

【解析】

（1）若a=0，根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義即可判斷函數(shù)y=f（x）的奇偶性；
（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義和性質(zhì)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求實數(shù)a的取值范圍；
（3）根據(jù)方程有三個不同的實數(shù)根，建立條件關(guān)系即可得到結(jié)論．

解：（1）函數(shù)為奇函數(shù)．

當(dāng)時，，，

∴，

∴函數(shù)為奇函數(shù)；

（2），

當(dāng)時，的對稱軸為：；

當(dāng)時，的對稱軸為：；

∴當(dāng)時，在上是增函數(shù)，

即時，函數(shù)在上是增函數(shù)；

（3）方程的解即為方程的解．

①當(dāng)時，函數(shù)在上是增函數(shù)，

∴關(guān)于的方程不可能有三個不相等的實數(shù)根；

②當(dāng)時，即，

∴在上單調(diào)增，在上單調(diào)減，在上單調(diào)增，

∴當(dāng)時，關(guān)于的方程有三個不相等的實數(shù)根；即，即，

∵，∴．

設(shè)，

∵存在使得關(guān)于的方程有三個不相等的實數(shù)根，

∴，又可證在上單調(diào)增．

∴，∴；

③當(dāng)時，即，

∴在上單調(diào)增，在上單調(diào)減，在上單調(diào)增，

∴當(dāng)時，關(guān)于的方程有三個不相等的實數(shù)根；

即，∵∴，

設(shè)

∵存在使得關(guān)于的方程有三個不相等的實數(shù)根，

∴，又可證在上單調(diào)減，∴

∴；

綜上：．