Question

已知a為常數(shù)，f（x）=lg(

a

1+x

-1)是奇函數(shù)．
（1）求a的值，并求出f（x）的定義域；
（2）解不等式f（x）＞-1．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)奇函數(shù)的定義可得 f（-x）+f（x）=0，故f0）=0，故lg（a-1）=0，解得a的值．
（2）f（x）=lg

1-x

1+x

，不等式f（x）＞-1即 lg

1-x

1+x

≥lg

1

10

，即

1-x

1+x

≥

1

10

，移項后，用穿根法求得解集，最后得函數(shù)的定義域求出交集即可．

解答：解：（1）根據(jù)奇函數(shù)的定義可得 f（-x）+f（x）=0，
∴故f0）=0，故lg（a-1）=0，a-1=1，故a=2．
（2）由以上可得 f（x）=lg

1-x

1+x

，
由

1+x＞0 1-x＞0

 可得-1＜x＜1，故f（x）的定義域為（-1，1）．
不等式f（x）＞-1即  lg

1-x

1+x

＞lg

1

10

，
即

1-x

1+x

＞

1

10

，
移項后，得：

x- 9 11

1+x

＜0，
用穿根法求得-1＜x＜

9

11

．
綜上，不等式的解集為（-1，

9

11

）．

點評：本題考查對數(shù)函數(shù)的定義域，奇函數(shù)的定義，對數(shù)函數(shù)的單調性和特殊點，體現(xiàn)了轉化的數(shù)學思想，解不等式lg

1+x

1-x

≥-1，是解題的難點．