Question

13．設(shè)拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)F在y軸正半軸上，過點(diǎn)F的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，線段AB的長是8，AB的中點(diǎn)到x軸的距離是3．
（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)直線m在y軸上的截距為6，且與拋物線交于P，Q兩點(diǎn)，連結(jié)QF并延長交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)R，當(dāng)直線PR恰與拋物線相切時，求直線m的方程．

Answer 1

分析 （1）設(shè)拋物線的方程為x²=2py（p＞0），求出準(zhǔn)線方程，運(yùn)用拋物線的定義和中位線定理，可得2（3+$\frac{p}{2}$）=8，解得p，即可得到拋物線的方程；
（2）設(shè)直線PQ的方程為y=kx+6，代入拋物線的方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，結(jié)合導(dǎo)數(shù)求得切線的斜率，再由兩點(diǎn)的方斜率公式，以及三點(diǎn)共線的條件：斜率相等，化簡整理解方程可得k的值，客人得到直線m的方程．

解答 解：（1）設(shè)拋物線的方程為x²=2py（p＞0），
準(zhǔn)線方程為y=-$\frac{p}{2}$，
由拋物線的定義可得|AF|+|BF|=|AB|=2（3+$\frac{p}{2}$）=8，
解得p=2，
即有拋物線的方程為x²=4y；
（2）設(shè)直線PQ的方程為y=kx+6，代入拋物線的方程，可得
x²-4kx-24=0，
設(shè)P（x₁，$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$），Q（x₂，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}$），
可得x₁+x₂=4k，x₁x₂=-24，
由y=$\frac{1}{4}$x²的導(dǎo)數(shù)為y′=$\frac{1}{2}$x，
設(shè)R（t，-1），可得k_PR=$\frac{\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}+1}{{x}_{1}-t}$=$\frac{1}{2}$x₁，
可得t=$\frac{1}{2}$x₁-$\frac{2}{{x}_{1}}$，
再由Q，F(xiàn)，R共線，可得$\frac{2}{-t}$=$\frac{\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}-1}{{x}_{2}}$，
消去t，可得$\frac{4{x}_{1}}{4-{{x}_{1}}^{2}}$=$\frac{{{x}_{2}}^{2}-4}{4{x}_{2}}$，
即有16x₁x₂=4（x₁²+x₂²）-16-（x₁x₂）²，
即有16×（-24）=4[（4k）²+2×24]-16-24²，
解方程可得k=±$\frac{1}{2}$，
即有直線m的方程為y=±$\frac{1}{2}$x+6．

點(diǎn)評 本題考查拋物線的方程的求法，注意運(yùn)用定義法和方程思想，考查直線方程和拋物線方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理和導(dǎo)數(shù)，由兩點(diǎn)的斜率公式，以及三點(diǎn)共線的條件：斜率相等，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．