Question

設(shè)橢圓C₁：的左、右焦點(diǎn)分別是F₁、F₂，下頂點(diǎn)為A，線段OA的中點(diǎn)為B（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），如圖．若拋物線C₂：y=x²-1與y軸的交點(diǎn)為B，且經(jīng)過(guò)F₁，F(xiàn)₂點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓C₁的方程；
（Ⅱ）設(shè)M（0，），N為拋物線C₂上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)N作拋物線C₂的切線交橢圓C₁于P、Q兩點(diǎn)，求△MPQ面積的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）拋物線C₂：y=x²-1與y軸的交點(diǎn)為B，且經(jīng)過(guò)F₁，F(xiàn)₂點(diǎn)．求出B，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求出橢圓的半長(zhǎng)軸與半焦距，再求出a寫(xiě)出橢圓方程．
（Ⅱ）設(shè)N（t，t²-1），表示出過(guò)點(diǎn)N的拋物線的切線方程，與橢圓的方程聯(lián)立，利用弦長(zhǎng)公式表示出線段PQ的長(zhǎng)度，再求出點(diǎn)M到直線PQ的距離為d，表示出△MPQ面積，由于其是參數(shù)t的函數(shù)，利用函數(shù)的知識(shí)求出其最值即可得到，△MPQ的面積的最大值
解答：解：（Ⅰ）由題意可知B（0，-1），則A（0，-2），故b=2．
令y=0得x²-1=0即x=±1，則F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），故c=1．
所以a²=b²+c²=5．于是橢圓C₁的方程為：．（3分）
（Ⅱ）設(shè)N（t，t²-1），由于y'=2x知直線PQ的方程為：y-（t²-1）=2t（x-t）．即y=2tx-t²-1．（4分）
代入橢圓方程整理得：4（1+5t²）x²-20t（t²+1）x+5（t²+1）²-20=0，△=400t²（t²+1）²-80（1+5t²）[（t²+1）²-4]=80（-t⁴+18t²+3），，，
故=．（7分）
設(shè)點(diǎn)M到直線PQ的距離為d，則．（9分）
所以，△MPQ的面積S====（11分）
當(dāng)t=±3時(shí)取到“=”，經(jīng)檢驗(yàn)此時(shí)△＞0，滿足題意．
綜上可知，△MPQ的面積的最大值為．（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查圓錐曲線的綜合，解題的關(guān)鍵是利用拋物線的方程求出橢圓方程中參數(shù)的值，以及利用拋物線線上的點(diǎn)的切線方程與圓聯(lián)立利用弦長(zhǎng)公式與點(diǎn)到直線的距離公式分別求出三角形的底邊長(zhǎng)度與高，表示出△MPQ的面積利用函數(shù)的知識(shí)求出最值，本題綜合性強(qiáng)，運(yùn)算量大，要避免運(yùn)算出錯(cuò)，變形出錯(cuò)．