Question

【題目】已知拋物線：的焦點(diǎn)為，直線與交于，兩點(diǎn)，且與軸交于點(diǎn).

（1）若直線的斜率，且，求的值；

（2）若，軸上是否存在點(diǎn)，總有？若存在，求出點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】(1) (2)存在，

【解析】

（1）依題意，設(shè)：，聯(lián)立方程可得，借助韋達(dá)定理表示，即可得到結(jié)果；

（2）討論直線的斜率，直線存在斜率時(shí)，聯(lián)立方程，借助韋達(dá)定理表示，即可得到點(diǎn).

（1）解法一：依題意，設(shè)：，

聯(lián)立：，整理得①

由，得，

又且，∴或（舍去），

所以①式可化為，設(shè)，，則，

∴.

解法二：依題意，設(shè)：，

聯(lián)立：，整理得①

∴，即，

又且，∴或（舍去），

所以①式可化為，設(shè)，，則，

∴.

（2）當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，由對(duì)稱性知，存在點(diǎn)滿足，

若直線存在斜率，設(shè)為則：，聯(lián)立：，

整理得，

∵，∴，

設(shè)由易知即，

∴即，

∴，∵，∴，

所以.

綜上所述，當(dāng)時(shí)，軸上存在點(diǎn)，總有.