精英家教網已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)短軸的一個端點D(0，
3
)，離心率e=
1
2
．過D作直線l與橢圓交于另一點M，與x軸交于點A（不同于原點O），點M關于x軸的對稱點為N，直線DN交x軸于點B．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）求|
OA
|•|
OB
|的值．
分析：（Ⅰ）根據(jù)題意，短軸的端點坐標，可得b=
3
，又由離心率e=
1
2
，則a=2c，代入a2=b2+c2中；解可得a、b的值，即可得答案．
（Ⅱ）設直線l方程為y=kx+
3
．令y=0，得A的坐標；進而聯(lián)立方程組
y=kx+
3
3x2+4y2=12
，可得M、N兩點的坐標，進而可得直線DN的方程，即可得B的坐標，進而由數(shù)量積的公式，計算可得答案．
解答：解：（Ⅰ）由已知，短軸的一個端點D(0，
3
)，則b=
3
；
離心率e=
1
2
，則a=2c，
又由a2=b2+c2；
解可得a=2，b=
3
．
所以橢圓方程為
x2
4
+
y2
3
=1．
（Ⅱ）設直線l方程為y=kx+
3
．令y=0，得A(-
3
k
，0)．
由方程組
y=kx+
3
3x2+4y2=12
可得3x2+4(kx+
3
)2=12，即(3+4k2)x2+8
3
kx=0．
所以xM=-
8
3
k
3+4k2
，
所以M(-
8
3
k
3+4k2
，-
8
3
k2
3+4k2
+
3
)，N(-
8
3
k
3+4k2
，
8
3
k2
3+4k2
-
3
)．
所以kDN=
2
3
-
8
3
k2
3+4k2
8
3
k
3+4k2
=
3
4k
．
直線DN的方程為y=
3
4k
x+
3
．
令y=0，得B(-
4
3
k
3
，0)．
所以|
OA
|•|
OB
|=|-
4
3
k
3
|•|-
3
k
|=4．
點評：本題考查直線與橢圓的關系，是一道綜合題；解題時，注意充分利用題干的條件，從中提取有關的信息，起到簡化計算步驟，降低運算量的目的．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左右焦點分別為F1，F(xiàn)2，左頂點為A，若|F1F2|=2，橢圓的離心率為e=
1
2

（Ⅰ）求橢圓的標準方程，
（Ⅱ）若P是橢圓上的任意一點，求
PF1
•
PA
的取值范圍
（III）直線l：y=kx+m與橢圓相交于不同的兩點M，N（均不是長軸的頂點），AH⊥MN垂足為H且
AH
2=
MH
•
HN
，求證：直線l恒過定點．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左焦點F（-c，0）是長軸的一個四等分點，點A、B分別為橢圓的左、右頂點，過點F且不與y軸垂直的直線l交橢圓于C、D兩點，記直線AD、BC的斜率分別為k1，k2
（1）當點D到兩焦點的距離之和為4，直線l⊥x軸時，求k1：k2的值；
（2）求k1：k2的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率是
3
2
，且經過點M（2，1），直線y=
1
2
x+m(m＜0)與橢圓相交于A，B兩點．
（1）求橢圓的方程；
（2）當m=-1時，求△MAB的面積；
（3）求△MAB的內心的橫坐標．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•威海二模）已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為e=
6
3
，過右焦點做垂直于x軸的直線與橢圓相交于兩點，且兩交點與橢圓的左焦點及右頂點構成的四邊形面積為
2
6
3
+2．
（Ⅰ）求橢圓的標準方程；
（Ⅱ）設點M（0，2），直線l：y=1，過M任作一條不與y軸重合的直線與橢圓相交于A、B兩點，若N為AB的中點，D為N在直線l上的射影，AB的中垂線與y軸交于點P．求證：
ND
•
MP
AB
2
為定值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右焦點為F，過F作y軸的平行線交橢圓于M、N兩點，若|MN|=3，且橢圓離心率是方程2x2-5x+2=0的根，求橢圓方程．

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