Question

13．如圖，表中數(shù)據(jù)滿足：
（1）第1行為1；
（2）第n（n≥2）行首尾兩數(shù)均為n；
（3）從第3行起每行除首尾兩個數(shù)外每個數(shù)等于上一行它肩上的兩個數(shù)之和．
則第n行（n≥2）第2個數(shù)是$\frac{{n}^{2}}{2}-\frac{n}{2}+1$．

Answer 1

分析 依據(jù)“中間的數(shù)從第三行起，每一個數(shù)等于它兩肩上的數(shù)之和”則第二個數(shù)等于上一行第一個數(shù)與第二個數(shù)的和，即有a_n+1=a_n+n（n≥2），再由累加法求解

解答 解：依題意a_n+1=a_n+n（n≥2），a₂=2
所以a₃-a₂=2a₄-a₃=3，a_n-a_n-1=n
累加得a_n-a₂=2+3+…+（n-1）=$\frac{（n+1）（n-2）}{2}$
所以 a_n=$\frac{{n}^{2}}{2}-\frac{n}{2}+1$（n＞2）
當(dāng)n=2時a₂=2，也滿足上述等式 
故a_n=$\frac{{n}^{2}}{2}-\frac{n}{2}+1$（n≥2）；
故答案為：$\frac{{n}^{2}}{2}-\frac{n}{2}+1$（n≥2）

點(diǎn)評 本題通過三角數(shù)表構(gòu)造了一系列數(shù)列，考查了數(shù)列的通項及求和的方法，還考查了數(shù)列間的關(guān)系，入題較難，知識點(diǎn)．