【題目】已知過拋物線的焦點(diǎn)的直線交拋物線于、兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，.

（1）求拋物線的方程；

（2）已知點(diǎn)，過點(diǎn)作直線交拋物線于、兩點(diǎn)，求的最大值，并求取得最大值時(shí)直線的方程.

【答案】（1）；（2）當(dāng)直線的方程為時(shí)，取最大值.

【解析】

（1）設(shè)點(diǎn)、，可得出，利用焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式可求得的值，進(jìn)而可得出拋物線的方程；

（2）設(shè)點(diǎn)、，設(shè)直線的方程為，將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，利用平面向量數(shù)量積公式將表示為以為自變量的函數(shù)，利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得的最大值及其對(duì)應(yīng)的直線的方程.

（1）設(shè)點(diǎn)、，由于線段的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則，

由拋物線的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式得，解得.

因此，拋物線的方程為；

（2）設(shè)點(diǎn)、，設(shè)直線的方程為，

聯(lián)立，消去并整理得.

由韋達(dá)定理得，.

，同理可得，

.

當(dāng)時(shí)，取最大值，此時(shí)，直線的方程為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】已知函數(shù)其中a為常數(shù)，設(shè)e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，求過切點(diǎn)為的切線方程；

（2）若在區(qū)間上的最大值為，求a的值；

（3）若不等式恒成立，求a的取值范圍.

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【題目】已知函數(shù).

（1）求在點(diǎn)處的切線方程；

（2）當(dāng)時(shí)，證明：；

（3）判斷曲線與是否存在公切線，若存在，說明有幾條，若不存在，說明理由.

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【題目】某產(chǎn)品的包裝紙可類比如圖所示的平面圖形，其可看作是由正方形和等腰梯形拼成，已知，，在包裝的過程中，沿著將正方形折起，直至，得到多面體，分別為中點(diǎn).

（1）證明：平面；

（2）求四棱錐的體積.

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【題目】已知函數(shù).

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）設(shè)，若對(duì)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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【題目】為抗擊新冠疫情，某企業(yè)組織員工進(jìn)行用款捐物的愛心活動(dòng).原則上每人以自愿為基礎(chǔ)，捐款不超過400元.現(xiàn)項(xiàng)目負(fù)責(zé)人統(tǒng)計(jì)全體員工數(shù)據(jù)后，下表為隨機(jī)抽取的10名員工.的捐款數(shù)額.

員工編號(hào)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

捐款數(shù)額

124

86

215

53

132

195

400

90

300

225

（1）若從這10名員工中任意選取3人，記選到的3人中捐款數(shù)額大于200元的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望：

（2）以表中選取的10人作為樣本.估計(jì)該企業(yè)全體員工的捐款情況，現(xiàn)從企業(yè)員工中依次抽取8人，若抽到k人的捐款數(shù)額小于200元的可能性最大，求k的值.

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【題目】如圖，在正四棱錐中，，.

（1）求證：平面；

（2）求二面角的余弦值.

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【題目】某企業(yè)員工500人參加“學(xué)雷鋒”志愿活動(dòng)，按年齡分組：第1組，第2組，第3組，第4組，第5組，得到的頻率分布直方圖如圖所示.

區(qū)間

人數(shù)

50

50

a

150

b

（1）上表是年齡的頻數(shù)分布表，求正整數(shù)的值；

（2）現(xiàn)在要從年齡較小的第1，2，3組中用分層抽樣的方法抽取6人，年齡在第1，2，3組的人數(shù)分別是多少？

（3）在（2）的前提下，從這6人中隨機(jī)抽取2人參加社區(qū)宣傳交流活動(dòng)，求至少有1人年齡在第3組的概率.

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【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）設(shè)，證明：當(dāng)時(shí)，函數(shù)沒有極值點(diǎn).

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