Question

18．若P為△ABC內(nèi)一點，且滿足$\overrightarrow{PA}$+2$\overrightarrow{PB}$+3$\overrightarrow{PC}$=0，則△ABC的面積與△APC的面積之比為1：3．

Answer 1

分析 可延長PB到B′，延長PC到C′，并分別使PB′=2PB，PC′=3PC，從而根據(jù)條件便得到：$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB′}+\overrightarrow{PC′}=\overrightarrow{0}$，這便說明P為△AB′C′的重心．這便得到三角形PAB′，三角形PB′C′，及三角形PC′A的面積都相等，設為S，從而會得到S_△ABC=S，${S}_{△APC}=\frac{1}{3}S$，這樣便可求出△ABC的面積與△APC的面積之比．

解答 解：如圖，延長PB至PB'，使PB'=2PB，延長PC至PC'，使PC'=3PC，并連接AB′，B′C′，C′A，則：

$\overrightarrow{PA}+2\overrightarrow{PB}+3\overrightarrow{PC}$=$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB′}+\overrightarrow{PC′}=\overrightarrow{0}$；
∴P是△AB′C′的重心；
∴△PAB′，△PB′C′，△PC′A三個三角形的面積相等，記為S；
∴${S}_{△APB}=\frac{S}{2}，{S}_{△APC}=\frac{S}{3}，{S}_{BPC}=\frac{S}{6}$；
∴${S}_{△ABC}=\frac{S}{2}+\frac{S}{3}+\frac{S}{6}=S$；
∴S_△APC：S_△ABC=1：3．
故答案為：1：3．

點評 考查向量數(shù)乘的幾何意義，三角形重心和三頂點構(gòu)成向量的和為零向量，以及三角形的面積公式．