Question

已知圓C：x²+y²=4
（1）直線l過點(diǎn)p（1，2），且與圓C交于A、B兩點(diǎn)，若|AB|=2

3

，求直線l的方程．
（2）過點(diǎn)P（1，2）作圓C的切線，切點(diǎn)分別為M，N．求△PMN外接圓的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系

專題：計(jì)算題,直線與圓

分析：（1）分類討論：①當(dāng)直線l垂直于x軸時(shí)；②若直線l不垂直于x軸．對(duì)于②，設(shè)其方程為y-2=k（x-1），結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系利用弦長(zhǎng)公式即可求得k值，從而解決問題．
（2）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P（x，y），M（x₀，y₀），則N（0，y₀），確定坐標(biāo)之間的關(guān)系，再利用M點(diǎn)在圓上其坐標(biāo)適合方程即可求得動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程，最后利用方程的形式進(jìn)行判斷是什么曲線即可．

解答： 解：（1）當(dāng)k存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為：y-2=k（x-1）------------------------------1分
即：kx-y+2-k=0
∵圓心C到直線l的距離d=

22-( 3 )2

=1
∴

|2-k|

k2+1

=1----------------------------------------------------------------------------1分
化簡(jiǎn)得：4k-3=0，k=

3

4

---------------------------------------------------------1分，
∴直線l的方程為3x-4y+5=0
當(dāng)k不存在時(shí)，x=1
與圓的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為(1，±

3

)，其距離為2

3

，滿足題意-------------1分
綜上所述，所求直線l的方程為：3x-4y+5=0，x-1=0------------------2分
（2）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P（x，y），M（x₀，y₀），則N（0，y₀）---------------------------------------1分
∵平行四邊形OMPN，∴

x0=x y0= y 2

----------------------------------------------1分
又x02+y02=4，∴x2+

y2

4

=4------------------------------------------------2分
∵直線m∥x軸，∴y≠0
∴P點(diǎn)的軌跡方程是

x2

4

+

y2

16

=1(y≠0)--------------------------------------2分
軌跡是焦點(diǎn)坐標(biāo)為F1(0，-2

3

)、F2(0，2

3

)，長(zhǎng)軸為8的橢圓，
并去掉（±2，0），（0，±4）兩點(diǎn)．------------------------------------------2分．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查直線的一般式方程、直線和圓的方程的應(yīng)用、軌跡方程的解法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．