設正整數構成的數列{an}使得a10k﹣9+a10k﹣8+…+a10k≤19對一切k∈N*恒成立.記該數列若干連續(xù)項的和為S(i,j),其中i,j∈N*,且i<j.求證:所有S(i,j)構成的集合等于N*.
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【解析】
試題分析:顯然S(i,j)∈N*,證明對任意n0∈N*,存在S(i,j)=n0.考慮10n0+10個前n項和,再考慮如下10n0+10個正整數:S1+n0<S2+n0<…<S10n0+10+n0,由抽屜原理,必有兩個相等,可得結論.
證明:顯然S(i,j)∈N*. (2分)
下證對任意n0∈N*,存在S(i,j)=n0.
用Sn表示數列{an}的前n項和,考慮10n0+10個前n項和:S1<S2<…<S10n0+10,(1)
由題設S10n0+10=(a1+a2+…+a10)+(a11+a12+…+a20)+…+(a10n0+1+a10n0+2+…+a10n0+10) (6分)
另外,再考慮如下10n0+10個正整數:S1+n0<S2+n0<…<S10n0+10+n0,(2)
顯然S10n0+10+n0≤20n0+19 (10分)
這樣(1),(2)中出現20n0+20個正整數,都不超過20n0+19,
由抽屜原理,必有兩個相等.
由于(1)式中各數兩兩不相等,(2)式中各數也兩兩不等,
故存在i,j∈N*,使得Sj=Si+n0,即j>i,且n0=Sj﹣Si=S(i,j).
所以,所有S(i,j)構成的集合等于N*. (16分)
科目:高中數學 來源:[同步]2014年新人教A版選修4-5 4.2數學歸納法證明不等式舉例(解析版) 題型:解答題
(2008•武漢模擬)在數列|an|中,a1=t﹣1,其中t>0且t≠1,且滿足關系式:an+1(an+tn﹣1)=an(tn+1﹣1),(n∈N+)
(1)猜想出數列|an|的通項公式并用數學歸納法證明之;
(2)求證:an+1>an,(n∈N+).
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科目:高中數學 來源:[同步]2014年新人教A版選修4-5 4.1數學歸納法練習卷(解析版) 題型:選擇題
在用數學歸納法證明時,在驗證當n=1時,等式左邊為( )
A.1 B.1+a C.1+a+a2 D.1+a+a2+a3
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科目:高中數學 來源:[同步]2014年新人教A版選修4-5 4.1數學歸納法練習卷(解析版) 題型:選擇題
用數學歸納法證明1+2+3+…+(3n+1)=,則當n=k+1時左端應在n=k的基礎上加上( )
A.(3k+2)
B.(3k+4)
C.(3k+2)+(3k+3)
D.(3k+2)+(3k+3)+(3k+4)
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科目:高中數學 來源:[同步]2014年新人教A版選修4-5 3.3排序不等式練習卷(解析版) 題型:解答題
已知a,b,c為正數,用排序不等式證明:2(a3+b3+c3)≥a2(b+c)+b2(a+c)+c2(a+b).
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科目:高中數學 來源:[同步]2014年新人教A版選修4-5 3.2一般形式柯西不等式練習卷(解析版) 題型:選擇題
(2012•九江一模)設變量x,y滿足|x﹣2|+|y﹣2|≤1,則的最大值為( )
A. B. C.﹣ D.
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科目:高中數學 來源:[同步]2014年新人教A版選修4-5 3.1二維形式柯西不等式練習卷(解析版) 題型:選擇題
用柯西不等式求函數y=的最大值為( )
A. B.3 C.4 D.5
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科目:高中數學 來源:[同步]2014年新人教A版選修4-5 2.2綜合法與分析法練習卷(解析版) 題型:選擇題
分析法證明不等式中所說的“執(zhí)果索因”是指尋求使不等式成立的( )
A.必要條件 B.充分條件 C.充要條件 D.必要或充分條件
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