設(shè)二次函數(shù)f（x）的二次項系數(shù)為a，且不等式f（x）-x＜0的解集為（x1，x2）其中x1，x2滿足0＜x1＜x2＜
1
a

（1）當x∈（x1，x2）時，求證x1＜f（x）＜x；
（2）設(shè)函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=x0對稱，求證：x0＜
x1
2
．
考點：函數(shù)與方程的綜合運用
專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用
分析：（1）可以構(gòu)造一個函數(shù)，然后利用做差的方法進行，然后判斷差的符號即可；
（2）想辦法將對稱軸用x1，x2表示出來，然后與
x1
2
比較即可，注意性質(zhì)的運用．
解答： 解：（1）令F（x）=f（x）-x，
因為x1，x2是方程f（x）-x=0的根，所以F（x）=a（x-x1）（x-x2），且a＞0，
當x∈（x1，x2）時，由x1＜x＜x2得（x-x1）（x-x2）＜0，又a＞0，
所以F（x）=a（x-x1）（x-x2）＜0，即f（x）＜x．
而x1-f（x）=x1-[x+F（x）]=x1-x+a（x1-x）（x-x2）=（x1-x）[1+a（x-x2）]．
因為0＜x1＜x＜x2＜
1
a
，所以x1-x＜0，1+a（x-x2）=1+ax-ax2＞1-ax2＞0
得x-f（x）＜0，由此得x1＜f（x）＜x．
（2）由（1）知f（x）=F（x）+x=x+a（x-x1）（x-x2）=ax2+[1-a（x1+x2）]x+ax1x2
x0=-
b
2a
=
a(x1+x2)-1
2a
=
ax2-1
2a
+
x1
2
，
因為ax2＜1，所以
ax2-1
2a
+
x1
2
＜
x1
2
，即x0＜
x1
2
．
點評：本題考查了二次函數(shù)與二次不等式、方程的根之間的關(guān)系，要注意將函數(shù)的性質(zhì)與方程的根結(jié)合函數(shù)的圖象有機結(jié)合起來．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知
a
、
c
是同一平面內(nèi)的兩個向量，其中
a
=（1，2），|
c
|=2
5
，且
a
∥
c
，求向量
c
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=4cosxsin（x+
π
6
）-1．
（1）求f（x）在區(qū)間[-
π
6
，
π
4
]上的最大值和最小值及此時的x的值；
（2）若f（α）=
1
2
，求sin（
π
6
-4α）．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設(shè)a=sin（-810°），b=tan（
33π
8
），c=lg
1
5
，則它們的大小關(guān)系為（　　）
A、a＜b＜c
B、a＜c＜b
C、b＜c＜a
D、c＜a＜b

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

函數(shù)f（x）=
x+1
x-1
的定義域是
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知集合A={-1，0，1}，B={1，2}，則A∪B=
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知三個點A（2，1），B（3，2），D（-1，4）求證：AB⊥AD．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知0＜a＜1，f（x）=logax+
1
logax
．
（1）寫出f（x）的定義域；
（2）判斷并證明f（x）在[
1
a
，+∞）上的單調(diào)性．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x+alnx，在x=1處的切線與直線x+2y=0垂直，則實數(shù)a的值為
 
．

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