Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，PA⊥底面ABCD．PA=AB=2，∠BAD=120°，E是PC上的一點(diǎn)，且BE與平面PAB所成角的正弦值為

3

4

．
（1）證明：E為PC的中點(diǎn)；
（2）求二面角A-BE-C的大小．

Answer 1

考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）設(shè)對角線交點(diǎn)為O，以O(shè)為原點(diǎn)，OC、OD、OP分別為x軸y軸z軸建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，利用向量法能證明E為PC的中點(diǎn)．
（2）求出平面ABE的一個(gè)法向量和平面BEC的一個(gè)法向量，利用向量法能求出二面角A-BE-C的大�。�

解答： （1）證明：∵ABCD為菱形，∴AC⊥BD，
設(shè)對角線交點(diǎn)為O，由平面幾何知識知：AC=2，BD=2

3

．
以O(shè)為原點(diǎn)，OC、OD、OP分別為x軸y軸z軸建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz
則A(1，0，0)、B(0，-

3

，0)C(1，0，0)P(-1，0，2)…（2分）
∴

AB

=(1，-

3

，0)，

AP

=(0，0，2)，
設(shè)平面PAB的一個(gè)法向量

m

=(x，y，z)，

AB • m =0 AP • m =0

⇒

x- 3 y=0 2z=0

⇒

m

=(

3

，1，0)．…（3分）
設(shè)

PE

=λ

EC

(λ＞0)，則E(

λ-1

λ+1

，

3

，

2

λ+1

)，
∴

BE

=(

λ-1

λ+1

，

3

，

2

λ+1

)
由已知

3

4

=|cos＜

m

，

BE

＞|=

| BE • m |

| BE || m |

．…（4分）
即

3

4

=

| 3 λ- 3 λ+1 + 3 |

( λ-1 λ+1 )2+( 3 )2+( 2 λ+1 )2 ×2

解得：λ=1或λ=-2（舍去）…（5分）
即E為PC的中點(diǎn)．…（6分）
（2）解：由（1）知

BE

=(0，

3

，1)，又

AB

=(1，-

3

，0)，
設(shè)平面ABE的一個(gè)法向量

n1

=(x1，y1，z1)，
則

BE • n1 =0 AB • n1 =0

⇒

3 y1+z1=0 x1- 3 y1=0

⇒

n1

=(

3

，1，-

3

)…（8分）
又

BC

=(1，

3

，0)，
設(shè)平面BEC的一個(gè)法向量

n2

=(x2，y2，z2)
則

BE • n2 =0 BC • n2 =0

⇒

3 y2+z2=0 x2- 3 y2=0

⇒

n2

=(

3

，-1，

3

)…（10分）
∴|cos＜

n1

，

n2

＞|=

| n1 • n2 |

| n1 || n2 |

=

| 3 × 3 +1×(-1)+(- 3 )× 3 |

7 × 7

=

1

7

…（11分）
又∵二面角A-BE-C為鈍角，
∴二面角A-BE-C的大小為arccos(-

1

7

)．…（12分）

點(diǎn)評：本題考查點(diǎn)是線段中點(diǎn)的證明，考查二面角的大小的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．