Question

如圖，棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的所有棱長都等于2，∠ABC=60°，平面AA₁C₁C⊥平面ABCD，∠A₁AC=60°．
（1）證明：BD⊥AA₁；
（2）求二面角A₁-C₁D-B的平面角的余弦值．

Answer 1

考點：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,空間中直線與直線之間的位置關(guān)系

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）連接BD交AC于O，則BD⊥AC，連接A₁O，可證A₁O⊥底面ABCD，從而建立空間直角坐標(biāo)系，求出向量的坐標(biāo)，證明向量的數(shù)量積為0 即可得到BD⊥AA₁；
（2）確定平面A₁C₁D、平面BC₁D的法向量，利用向量的夾角公式，可求二面角A₁-C₁D-B的平面角的余弦值．

解答： （1）證明：連接BD交AC于O，則BD⊥AC，連接A₁O，
在△AA₁O中，AA₁=2，AO=1，∠A₁AO=60°
∴A₁O²=AA₁²+AO²-2AA₁•AOcos60°=3
∴AO²+A₁O²=AA₁²
∴A₁O⊥AO，
∵平面AA₁C₁C⊥平面ABCD，平面AA₁C₁C∩平面ABCD=AO
∴A₁O⊥底面ABCD
∴以O(shè)B、OC、OA₁所在直線為x軸、y軸、z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
則A（0，-1，0），B（

3

，0，0），C（0，1，0），D（-

3

，0，0），
A₁（0，0，

3

）                         
∵

BD

=（-2

3

，0，0），

AA1

=（0，1，

3

），
∴

BD

•

AA1

=0
∴BD⊥AA₁；
（2）設(shè)平面A₁C₁D的一個法向量為

n

=（x，y，z），則
∵

A1C1

=（0，2，0），

A1D

=（-

3

，0，-

3

），
∴

2y=0 - 3 x- 3 z=0

，∴

n

=（1，0，-1）
同理平面BC₁D的一個法向量為為

m

=（0，

3

，-2），
∴cos＜

n

，

m

＞=

2

2 • 7

=

14

7

．

點評：本題考查線面位置關(guān)系，考查面面角，考查利用向量方法解決立體幾何問題，屬于中檔題．