【題目】已知函數(shù)f(x)=2a·4x-2x-1.
(1)當a=1時,解不等式f(x)>0;
(2)當a=,x∈[0,2]時,求f(x)的值域.
【答案】(1)(0,+∞);(2)[-1,11].
【解析】
(1)將a=1代入,求出函數(shù)的解析式,將2x看作一個整體,根據(jù)二次不等式的解法,求出2x的范圍,結(jié)合指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì),可得答案.
(2)將a=代入,求出函數(shù)的解析式,利用換元法,將問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在定區(qū)間上的最值問題,求出函數(shù)最值后,得到函數(shù)的值域.
(1)當a=1時,f(x)=2·4x-2x-1.
f(x)>0,即2·(2x)2-2x-1>0,
解得2x>1或2x<- (舍去),
∴x>0,∴不等式f(x)>0的解集為(0,+∞).
(2)當a=時,f(x)=4x-2x-1,x∈[0,2].
設(shè)t=2x.∵x∈[0,2],∴t∈[1,4].
∴y=g(t)=t2-t-1 (1≤t≤4).
畫出g(t)=t2-t-1 (1≤t≤4)的圖像(如圖),
可知g(t)min=g(1)=-1,g(t)max=g(4)=11,
∴f(x)的值域為[-1,11].
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【題目】德國著名數(shù)學(xué)家狄利克雷在數(shù)學(xué)領(lǐng)域成就顯著,以其命名的函數(shù)被稱為狄利克雷函數(shù),其中R為實數(shù)集,Q為有理數(shù)集,以下命題正確的個數(shù)是( )
下面給出關(guān)于狄利克雷函數(shù)f(x)的五個結(jié)論:
①對于任意的x∈R,都有f(f(x))=1;
②函數(shù)f(x)偶函數(shù);
③函數(shù)f(x)的值域是{0,1};
④若T≠0且T為有理數(shù),則f(x+T)=f(x)對任意的x∈R恒成立;
⑤在f(x)圖象上存在不同的三個點A,B,C,使得△ABC為等邊角形.
A.2B.3C.4D.5
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【題目】已知函數(shù).
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)當時,若函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象與軸交于, 兩點,其橫坐標分別為, ,線段的中點的橫坐標為,且, 恰為函數(shù)的零點,求證: .
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【題目】已知無窮數(shù)列的前n項和為,記, ,…, 中奇數(shù)的個數(shù)為.
(Ⅰ)若= n,請寫出數(shù)列的前5項;
(Ⅱ)求證:"為奇數(shù), (i = 2,3,4,...)為偶數(shù)”是“數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列”的充分不必要條件;
(Ⅲ)若,i=1, 2, 3,…,求數(shù)列的通項公式.
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【題目】某城市戶居民的月平均用電量(單位:度),以,,,,,,分組的頻率分布直方圖如圖.
(1)求直方圖中的值;
(2)求月平均用電量的眾數(shù)和中位數(shù);
(3)在月平均用電量為,,,的四組用戶中,用分層抽樣的方法抽取戶居民,則月平均用電量在的用戶中應(yīng)抽取多少戶?
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【題目】已知,函數(shù).
(1)若關(guān)于的方程的解集中恰有一個元素,求的值;
(2)設(shè),若對任意,函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值的差不超過,求的取值范圍.
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【題目】設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項和.已知.
(Ⅰ)求{an}的通項公式;
(Ⅱ)令,求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.
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【題目】如圖所示,EB垂直于菱形ABCD所在平面,且EB=BC=2,∠BAD=60°,點G、H分別為邊CD、DA的中點,點M是線段BE上的動點.
(I)求證:GH⊥DM;
(II)當三棱錐D-MGH的體積最大時,求點A到面MGH的距離.
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【題目】已知函數(shù),,且函數(shù)是偶函數(shù).
(1)求的解析式;
(2)若不等式在上恒成立,求的取值范圍;
(3)若函數(shù)恰好有三個零點,求的值及該函數(shù)的零點.
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