【題目】已知函數(shù).
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)當(dāng)時,若函數(shù)
的導(dǎo)函數(shù)
的圖象與
軸交于
,
兩點,其橫坐標分別為
,
,線段
的中點的橫坐標為
,且
,
恰為函數(shù)
的零點,求證:
.
【答案】(1)當(dāng)時,
在
內(nèi)單調(diào)遞增;當(dāng)
時,
在
內(nèi)單調(diào)遞減,在
,
內(nèi)單調(diào)遞增;(2)見解析.
【解析】試題分析:(1)對函數(shù)求導(dǎo)后,利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系,對進行討論可得函數(shù)單調(diào)性;(2)由函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)可知,
又是
的零點,代入相減化簡得
,對
求導(dǎo),
.令
,求得函數(shù)
.不等式得證.
試題解析:(1)由于的定義域為
,則
.對于方程
,其判別式
.當(dāng)
,即
時,
恒成立,故
在
內(nèi)單調(diào)遞增.當(dāng)
,即
,方程
恰有兩個不相等是實
,令
,得
或
,此時
單調(diào)遞增;令
,得
,此時
單調(diào)遞減.
綜上所述,當(dāng)時,
在
內(nèi)單調(diào)遞增;當(dāng)
時,
在
內(nèi)單調(diào)遞減,在
,
內(nèi)單調(diào)遞增.
(2)由(1)知, ,所以
的兩根
,
即為方程
的兩根.因為
,所以
,
,
.又因為
,
為
的零點,
所以,
,兩式相減得
,得
.而
,所以
.
令,由
得
,因為
,兩邊同時除以
,得
,因為
,故
,解得
或
,所以
.設(shè)
,所以
,則
在
上是減函數(shù),所以
,
即的最小值為
.
所以.
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【題目】已知 =(1,2),
=(﹣3,2),當(dāng)k為何值時:
(1)k +
與
﹣3
垂直;
(2)k +
與
﹣3
平行,平行時它們是同向還是反向?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標系與參數(shù)方程
已知極坐標系的極點為直角坐標系的原點,極軸為
軸的正半軸,兩種坐標系中的長度單位相同,圓
的直角坐標方程為
,直線
的參數(shù)方程為
(
為參數(shù)),射線
的極坐標方程為
.
(1)求圓和直線
的極坐標方程;
(2)已知射線與圓
的交點為
,與直線
的交點為
,求線段
的長.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)= +
(1)將函數(shù)f(x)化簡成Asin(ωx+φ)+B(A>0,φ>0,φ∈[0,2π))的形式;
(2)求f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間,并指出函數(shù)|f(x)|的最小正周期;
(3)求函數(shù)f(x)在[ ,
]上的最大值和最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】利用簡單隨機抽樣從某小區(qū)抽取100戶居民進行月用電量調(diào)查,發(fā)現(xiàn)其用電量都在50到350度之間,頻率分布直方圖如圖所示.在這些用戶中,用電量落在區(qū)間[150,250]內(nèi)的戶數(shù)為( )
A.46
B.48
C.50
D.52
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某市醫(yī)療保險實行定點醫(yī)療制度,按照“就近就醫(yī)、方便管理”的原則,參加保險人員可自主選擇四家醫(yī)療保險定點醫(yī)院和一家社區(qū)醫(yī)院作為本人就診的醫(yī)療機構(gòu).若甲、乙、丙、丁4名參加保險人員所在地區(qū)附近有A,B,C三家社區(qū)醫(yī)院,并且他們的選擇是相互獨立的.
(Ⅰ)求甲、乙兩人都選擇A社區(qū)醫(yī)院的概率;
(Ⅱ)求甲、乙兩人不選擇同一家社區(qū)醫(yī)院的概率;
(Ⅲ)設(shè)4名參加保險人員中選擇A社區(qū)醫(yī)院的人數(shù)為ξ,求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=﹣x2+ax﹣ +
,在區(qū)間[0,1]上的最大值是2,求函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,1]上的最小值.
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