Question

已知函數(shù)f(x)=

ax-1

x+1

，  其中 a∈R．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)滿(mǎn)足f（x）≤1時(shí)的x的集合；
（2）求a的取值范圍，使f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是單調(diào)減函數(shù)．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）≤1?

x-1

x+1

≤1，解這個(gè)分式不等式即可
（2）依據(jù)減函數(shù)的定義，對(duì)（0，+∞）上的任意x₁，x₂，當(dāng)x₂＞x₁時(shí)，總有f（x₂）＜f（x₁），則f（x）就為（0，+∞）上的單調(diào)減函數(shù)，由f(x2)-f(x1)=

ax2-1

x2+1

-

ax1-1

x1-1

恒小于零，即可得a的取值范圍

解答：解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）≤1⇒

x-1

x+1

≤1⇒x＞-1，
故滿(mǎn)足條件的集合為{x|x＞-1}．
（2）在區(qū)間（0，+∞）上任取x₁，x₂，
則f(x2)-f(x1)=

ax2-1

x2+1

-

ax1-1

x1-1

=

(a+1)(x2-x1)

(x2+1)(x1+1)

，
因x₂＞x₁故x₂-x₁＞0，又在（0，+∞）上x(chóng)₂+1＞0，x₁+1＞0，
∴只有當(dāng)a+1＜0時(shí)，即a＜-1時(shí)，才總有f（x₂）-f（x₁）＜0．
∴當(dāng)a＜-1時(shí)，f（x）在（0，+∞）上是單調(diào)減函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了簡(jiǎn)單分式不等式的解法，單調(diào)性的定義及運(yùn)用，解題時(shí)要有較強(qiáng)的代數(shù)變換能力，能熟記定義，并熟練應(yīng)用