Question

10．已知數列{a_n}滿足a₁=1，a_n+a_n+1=（$\frac{1}{3}$）ⁿ，S_n=a₁+3a₂+3²a₃+…+3^n-1a_n，利用類似等比數列的求和方法，可求得4S_n-3ⁿa_n=n．

Answer 1

分析 對S_n=a₁+3a₂+3²a₃+…+3^n-1a_n 兩邊同乘以3，再相加，求出其和的表達式，整理即可求出4S_n-3ⁿa_n的表達式．

解答 解：由S_n=a₁+3a₂+3²a₃+…+3^n-1a_n ①
得3S_n=3a₁+3²a₂+3³a₃+…+3ⁿa_n②
①+②得：4S_n=a₁+3（a₁+a₂）+43•（a₂+a₃）+…+3^n-1•（a_n-1+a_n）+a_n•3ⁿ
=a₁+3×$\frac{1}{3}$+…+3ⁿ•a_n
=1+1+1+…+1+3ⁿ•a_n
=n+3ⁿ•a_n．
所以4S_n-3ⁿa_n=n．
故答案為：n．

點評 本題考查類比推理，考查等比數列的求和公式，正確類比是關鍵．