Question

3．定義在（0，+∞）上的函數(shù)f（x）滿足f（x）＞2（x+$\sqrt{x}$）f′（x），其中f′（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)，則下列不等式中，一定成立的是（　　）

• A． f（1）＞$\frac{f（2）}{2}$＞$\frac{f（3）}{3}$
• B． $\frac{f（1）}{2}$＞$\frac{f（4）}{3}$＞$\frac{f（9）}{4}$
• C． f（1）＜$\frac{f（2）}{2}$＜$\frac{f（3）}{3}$
• D． $\frac{f（1）}{2}$＜$\frac{f（4）}{3}$＜$\frac{f（9）}{4}$

Answer 1

分析 由題意構(gòu)造函數(shù)g（x）=$\frac{f（x）}{\sqrt{x}+1}$，再由導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)判斷出函數(shù)g（x）的單調(diào)性，由函數(shù)g（x）的單調(diào)性即可得出正確選項(xiàng)．

解答 解：構(gòu)造函數(shù)g（x）=$\frac{f（x）}{\sqrt{x}+1}$，
則g′（x）=$\frac{f′（x）•（\sqrt{x}+1）-f（x）•\frac{1}{2\sqrt{x}}}{（\sqrt{x}+1）^{2}}$=$\frac{2（x+\sqrt{x}）f′（x）-f（x）}{2\sqrt{2}x•（\sqrt{x}+1）^{2}}$，
∵在（0，+∞）上的函數(shù)f（x）滿足f（x）＞2（x+$\sqrt{x}$）f′（x），
∴g′（x）＜0，
∴g（x）=$\frac{f（x）}{\sqrt{x}+1}$在（0，+∞）上單調(diào)遞減，
∴g（1）＞g（4）＞g（9），
∴$\frac{f（1）}{1+1}$＞$\frac{f（4）}{2+1}$＞$\frac{f（9）}{3+1}$，
∴$\frac{f（1）}{2}$＞$\frac{f（4）}{3}$＞$\frac{f（9）}{4}$，
故選：B

點(diǎn)評(píng) 本題考查了由條件構(gòu)造函數(shù)和用導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系對(duì)不等式進(jìn)行判斷．