Question

12．已知函數(shù)f（x）=ln（x+1）+$\frac{ax}{x+1}$（a∈R）
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求f（x）在x=0處的切線方程；
（2）當(dāng)a＜0時(shí)，求f（x）的極值；
（3）求證：ln（n+1）＞$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{2}{{2}^{2}}$+…+$\frac{n-1}{{n}^{2}}$（n∈N⁺）

Answer 1

分析 （1）求出導(dǎo)數(shù)，求出切線的斜率，切點(diǎn)，進(jìn)而運(yùn)用點(diǎn)斜式方程，求出切線方程；
（2）求出導(dǎo)數(shù)，對(duì)a討論，分a≥0，a＜0，令導(dǎo)數(shù)大于0，得增區(qū)間，令導(dǎo)數(shù)小于0，得減區(qū)間，注意定義域，進(jìn)而得到極小值；
（3）令a=-1，得到f（x）在x=0處取得極小值，也為最小值，且為0，即有f（x）≥0，即ln（1+x）≥$\frac{x}{1+x}$，令x=$\frac{1}{n}$，則有l(wèi)n（1+$\frac{1}{n}$）≥$\frac{1}{n+1}$，由于$\frac{1}{n（n+1）}$＜$\frac{1}{{n}^{2}}$即有$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$＜$\frac{1}{{n}^{2}}$，證得ln（1+$\frac{1}{n+1}$）＞$\frac{n-1}{{n}^{2}}$，運(yùn)用累加法和對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，即可得證．

解答 （1）解：函數(shù)f（x）=ln（x+1）+$\frac{ax}{x+1}$的導(dǎo)數(shù)為：
f′（x）=$\frac{1}{x+1}$+$\frac{a}{{（x+1）}^{2}}$，
則函數(shù)f（x）在x=0處的切線斜率為1+a=2，切點(diǎn)為（0，0），
即有函數(shù)f（x）在x=0處的切線方程為y=2x；
（2）解：f′（x）=$\frac{1}{x+1}$+$\frac{a}{{（x+1）}^{2}}$=$\frac{x+1+a}{{（x+1）}^{2}}$，
當(dāng)a＜0時(shí)，由f′（x）＞0，解得，x＞-1-a；由f′（x）＜0，解得，-1＜x＜-1-a．
故a＜0時(shí)，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-1-a，+∞），減區(qū)間為（-1，-1-a），
f（x）在x=-1-a取得極小值，且為ln（-a）+1+a．
（3）證明：當(dāng)a=-1時(shí)，由（2）可得，
f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，+∞），減區(qū)間為（-1，0）．
則f（x）在x=0處取得極小值，也為最小值，且為0，
即有f（x）≥0，即ln（1+x）≥$\frac{x}{1+x}$，
令x=$\frac{1}{n}$，則有l(wèi)n（1+$\frac{1}{n}$）≥$\frac{1}{n+1}$，
由于 $\frac{1}{n（n+1）}$＜$\frac{1}{{n}^{2}}$，
即有$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$＜$\frac{1}{{n}^{2}}$，
即有 $\frac{1}{n+1}$＞$\frac{n-1}{{n}^{2}}$，
則ln（1+$\frac{1}{n}$）＞$\frac{n-1}{{n}^{2}}$，
即有l(wèi)n（1+$\frac{1}{1}$）+ln（1+$\frac{1}{2}$）+ln（1+$\frac{1}{3}$）+…+ln（1+$\frac{1}{n}$）
＞$\frac{1-1}{{1}^{2}}$+$\frac{2-1}{{2}^{2}}$+$\frac{3-1}{{3}^{2}}$+…+$\frac{n-1}{{n}^{2}}$，
即為ln（$\frac{2}{1}$•$\frac{3}{2}$•$\frac{4}{3}$••$\frac{n+1}{n}$）＞$\frac{1-1}{{1}^{2}}$+$\frac{2-1}{{2}^{2}}$+$\frac{3-1}{{3}^{2}}$+…+$\frac{n-1}{{n}^{2}}$，
則有l(wèi)n（n+1）＞$\frac{1-1}{{1}^{2}}$+$\frac{2-1}{{2}^{2}}$+$\frac{3-1}{{3}^{2}}$+…+$\frac{n-1}{{n}^{2}}$成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線方程和求單調(diào)區(qū)間、極值和最值，考查分類(lèi)討論的思想方法，考查運(yùn)用函數(shù)的最值證明不等式的方法，考查化簡(jiǎn)運(yùn)算能力，屬于中檔題和易錯(cuò)題．