Question

已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，左右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，離心率為，且過(guò)點(diǎn)，
（1）求此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若直線系kx-y-3k+m=0（其中k為參數(shù)）所過(guò)的定點(diǎn)M恰在雙曲線上，求證：F₁M⊥F₂M．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意雙曲線的中心在原點(diǎn)，左右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，離心率為，且過(guò)點(diǎn)，可先根據(jù)離心率得出a，b的關(guān)系，設(shè)出雙曲線的方程，代入點(diǎn)，求出a，b的值，即可寫(xiě)出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）觀察直線，發(fā)現(xiàn)這是一個(gè)直線系，將其化為k（x-3）-y+m=0，求出直線系過(guò)的定點(diǎn)，又此點(diǎn)在雙曲線上，將其代入雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可以求得m的值，由于本題要求證明兩直線垂直，故可以求出兩直線的斜率，驗(yàn)證其斜率的乘積為-1，從而證明出兩直線垂直的關(guān)系．
解答：解：（1）∵，∴，∴c²=2a²=a²+b²，∴a=b，
∴設(shè)雙曲線方程為x²-y²=a²（a＞0），∵雙曲線經(jīng)過(guò)，∴16-10=a²即a²=6，
∴所求雙曲線方程為．----------（4分）
（2）∵直線系方程可化為k（x-3）-y+m=0
∴直線系過(guò)定點(diǎn)M（3，m）．------------（5分）
∵M(jìn)（3，m）在雙曲線上，∴9-m²=6，，∴m²=3
又雙曲線焦點(diǎn)坐標(biāo)為，
∴-----------（7分）
∴∴F₁M⊥F₂M----------（10分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓錐曲線的關(guān)系，考查了求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，圓錐曲線的點(diǎn)與兩焦點(diǎn)的連線互相垂直的證明，理解題意，選恰當(dāng)?shù)慕鉀Q方法是解答本題的關(guān)鍵，本題考查了推理判斷能力及符號(hào)計(jì)算能力，綜合性強(qiáng)，是近幾年解析幾何考查覺(jué)了的題型