Question

6．對于函數(shù)f（x）=A（$\sqrt{3}$sinxcosx-cos²x）（A≠0），下列命題：
①若A＞0，則函數(shù)f（x）的最大值為A；
②“A＞0”是“函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間為[kπ-$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{π}{3}$]（k∈Z）”充分必要條件；
③點（$\frac{π}{12}$，A）是函數(shù)f（x）的圖象上的一個對稱中心；
④若x₁、x₂是函數(shù)f（x）的兩個零點，則|x₁-x₂|的最小值為$\frac{π}{3}$．
其中真命題的個數(shù)為（　�。�

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 ①由三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用化簡函數(shù)解析式可得f（x）=Asin（2x-$\frac{π}{6}$）-$\frac{1}{2}$A，若A＞0，則可求函數(shù)f（x）的最大值為$\frac{1}{2}$A；
②由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z可解得[kπ-$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{π}{3}$]，k∈Z，由正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可得解．
③由2x-$\frac{π}{6}$=kπ，k∈Z可解得y=sin（2x-$\frac{π}{6}$）的對稱中心為：（$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{12}$，0），k∈Z，從而可得f（x）=Asin（2x-$\frac{π}{6}$）-$\frac{1}{2}$A的對稱中心為：（$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{12}$，-$\frac{1}{2}$A），k∈Z；
④求得f（x）的周期，則|x₁-x₂|的最小值為$\frac{π}{2}$，即可判斷．

解答 解：①∵f（x）=A（$\sqrt{3}$sinxcosx-cos²x）（A≠0）
=A（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1+cos2x}{2}$）
=Asin（2x-$\frac{π}{6}$）-$\frac{1}{2}$A，
∴①若A＞0，則函數(shù)f（x）的最大值為A$-\frac{1}{2}$A=$\frac{1}{2}$A，不正確；
②∵由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z可解得[kπ-$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{π}{3}$]，k∈Z，
∴由正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)可知“A＜0”時，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為[kπ-$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{π}{3}$]（k∈Z），故應(yīng)是充分不必要條件．②錯誤；
③由2x-$\frac{π}{6}$=kπ，k∈Z可解得y=sin（2x-$\frac{π}{6}$）的對稱中心為：（$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{12}$，0），k∈Z，
故f（x）=Asin（2x-$\frac{π}{6}$）-$\frac{1}{2}$A的對稱中心為：（$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{12}$，-$\frac{1}{2}$A），k∈Z，故錯誤；
④∵若x₁、x₂是函數(shù)f（x）的兩個零點，
∴Asin（2x₁-$\frac{π}{6}$）-$\frac{1}{2}$A=0，Asin（2x₂-$\frac{π}{6}$）-$\frac{1}{2}$A=0，解得：x₁=k$π+\frac{π}{6}$，x₂=k$π+\frac{π}{2}$，k∈Z，
則|x₁-x₂|的最小值為$\frac{π}{3}$，故正確．
綜上，真命題的個數(shù)為1．
故選：A．

點評 本題主要考查了三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，考查了正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，屬于基本知識的考查．