如圖四棱錐P-ABCD的底面為正方形,PA⊥平面ABCD,AB=2,PC與平面ABCD成45°角,E、F分別為PA、PB的中點(diǎn).

(1)求異面直線DE與AF所成角的大;

(2)設(shè)M是PC上的動(dòng)點(diǎn),試問當(dāng)M在何處時(shí),才能使AM⊥平面PBD,證明你的結(jié)論.

答案:
解析:

  解:(1)如圖,建立空間直角坐標(biāo)系,則A(0,0,0),F(xiàn)(1,0,),D(0,2,0),E(0,0,);(1,0,),(0,-2,).

  設(shè)的夾角為θ,

  則cos=,

  ∴DE與AF所成的角為arccos

  (2)∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥BD.

  又ABCD是正方形,∴BD⊥AC,BD⊥平面PAC,∴BD⊥AM.

  由題意可設(shè)M點(diǎn)坐標(biāo)為(t,t,2(2-),

  ∴又P(0,0,2),B(2,0,0),=(2,0,-2).

  設(shè)AM⊥PB,∴·=0,即2t-2×(2-t)=0.

  ∴t=,∴||=,又||=4,

  ∴M在=2這位置于,AM⊥平面PBD.

  法二:(1)連CF、EF取CD的中點(diǎn)G,連EG、AG,由題意EF⊥AB,則EF⊥DG,

  ∴四邊形EDGF為平行四邊形,∴FG⊥ED.

  ∴∠AFG即DE和AF所成的角(或其補(bǔ)角).

  又PC與底面所成角45°,∴PA=AC=2,∴ED==FG,AF=,AG=

  ∴cos∠AFG=,∴DE與AF所成的角為arccos

  ∴連AC交BD于O,AC⊥BD,PA⊥BD.

  ∴BD⊥平面PAC,∴BD⊥BD.

  欲使AM⊥平面PDB,則只需AM⊥PO即可.

  在Rt△PAC中,(如圖)過C作CH∥PA交AM處長線于H,

  又,∴M在=2這位置于,AM⊥平面PBD.


提示:

  分析:(1).求異面直線所成角一般通過直線平移,或用空間向量.

  (2)探究性問題考慮當(dāng)AM⊥平面PBD,M點(diǎn)特點(diǎn)和性質(zhì).

  說明:本題體現(xiàn)高考立體幾何解答題考查的三個(gè)熱點(diǎn)問題:一是用空間向理求線線角問題;二是線線、線面平行與垂直問題;三是探究性問題.


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已知如圖四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是平行四邊形,PG⊥平面ABC,垂足G在AD上,且AG=
1
3
GD,GB⊥GC.GB=GC=2,PG=4
,E是BC的中點(diǎn).
(1)求證:PC⊥BG;
(2)求異面直線GE與PC所成角的余弦值;
(3)若F是PC上一點(diǎn),且DF⊥GC,求
CF
CP
的值.

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已知如圖四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是平行四邊形,PG⊥平面ABC,垂足G在AD上,且AG=GD,GB⊥GC,GB=GC=2,PC=4,E是BC的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:PC⊥BG;
(Ⅱ)求異面直線GE與PC所成角的余弦值;
(Ⅲ)若F是PC上一點(diǎn),且DF⊥GC,求的值。

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(1)求證:PC⊥BG;
(2)求異面直線GE與PC所成角的余弦值;
(3)若F是PC上一點(diǎn),且的值.

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