Question

已知定點(diǎn)A（0，2），B（0，-2），C（2，0），動(dòng)點(diǎn)P滿足：
（I）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程，并說明方程表示的曲線類型；
（II）當(dāng)m=2時(shí)，設(shè)點(diǎn)P（x，y）（y≥0），求的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設(shè)出動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)，求出向量的坐標(biāo)，直接代入后整理得到動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程，然后對m分類說明方程所表示的曲線；
（Ⅱ）當(dāng)m=2時(shí)，得到點(diǎn)P的具體方程，求的取值范圍，其幾何意義就是軌跡上的動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)（8，0）連線的斜率范圍，用圓心到直線的距離等于半徑求解．
解答：解：（Ⅰ）設(shè)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)為P（x，y），則=（x，y-2），=（x，y+2），=（2-x，-y）
∵=m||²，
∴
∴x²+y²-4=m[（x-2）²+y²]
即（1-m）x²+（1-m）y²+4mx-4m-4=0，
若m=1，則方程為x=2，表示過點(diǎn)（2，0）且平行于y軸的直線；
若m≠1，則方程化為：，表示以（，0）為圓心，以 為半徑的圓；   
（Ⅱ）當(dāng)m=2時(shí)，方程化為（x-4）²+y²=4；
設(shè)，則y=kx-8k，圓心（4，0）到直線y=kx-8k的距離d=時(shí)，
解得，又y≥0，所以點(diǎn)P（x，y）所在圖形為上半個(gè)圓（包括與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)），
故直線與半圓相切時(shí)；
當(dāng)直線過x軸上的兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)知k=0；
因此的取值范圍是．
點(diǎn)評：本題考查了圓錐曲線的方程的求法，練習(xí)了向量在解析幾何中的應(yīng)用，解答（Ⅱ）的關(guān)鍵在于對式子的幾何意義的理解，是中檔題．