Question

已知函數(shù)f(x)=

x2-x+3

x

，
（Ⅰ）判定函數(shù)的奇偶性；
（Ⅱ）求函數(shù)的值域．

Answer 1

分析：（1）先求出函數(shù)的定義域，看是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱時(shí)，再看f（-x）與函數(shù)f（x）的關(guān)系，依據(jù)奇偶性的定義做出判斷．
（2）利用基本不等式求值域是解決函數(shù)值域問(wèn)題的一種方法，關(guān)鍵要用到基本不等式的放縮辦法，要注明等號(hào)成立的條件．

解答：解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?∞，0）∪（0，+∞）
又f(x)=x+

3

x

-1∵f(-x)+f(x)=(-x-

3

x

-1)+(x+

3

x

-1)=-2≠0f（-x）≠-f（x）
f(-x)-f(x)=-x-

3

x

-1-(x+

3

x

-1)=-(2x+

6

x

)≠0∴f（-x）≠f（x）
故f（x）為非奇非偶函數(shù)
（Ⅱ）當(dāng)x＞0時(shí)，x+

3

x

-1≥2

3

-1
當(dāng)x＜0時(shí)，x+

3

x

-1=[(-x)+

3

(-x)

]-1≤-2

3

-1，
∴函數(shù)f（x）的值域是(-∞，-2

3

-1]∪[2

3

-1，+∞)

點(diǎn)評(píng)：本題考查求函數(shù)的定義域、值域的方法，函數(shù)奇偶性的判斷方法，解答關(guān)鍵是利用函數(shù)解析式的特點(diǎn)選擇合適的方法求解函數(shù)的值域，本題注意到函數(shù)表達(dá)式的兩項(xiàng)均為正項(xiàng)，積為定值．