Question

12．△ABC中，AB=6，AC=4，M為BC的中點，O為△ABC的外心，$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{AM}$=（　　）

• A． $\sqrt{13}$
• B． 13
• C． 5
• D． 2$\sqrt{13}$

Answer 1

分析 過點O分別作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，可得E、F分別是AB、AC的中點．根據(jù)Rt△AOE中余弦的定義，分別求出$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AO}$，$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{AO}$的值，再由M是BC邊的中點，得到$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AO}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$）•$\overrightarrow{AO}$，問題得以解決．

解答 解：過點O分別作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，則E、F分別是AB、AC的中點
可得Rt△AEO中，cos∠OAE=$\frac{|\overrightarrow{AE}|}{|\overrightarrow{AO}|}$=$\frac{|\overrightarrow{AB|}}{2|\overrightarrow{AO}|}$，
∴$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AO}$=|$\overrightarrow{AB}$|•|$\overrightarrow{AO}$|•$\frac{|\overrightarrow{AB|}}{2|\overrightarrow{AO}|}$=$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{AB}$|²=18，
同理可得$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{AO}$=$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{AC}$|²=8，
∵M(jìn)是邊BC的中點，$\overrightarrow{AM}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$）
∴$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AO}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$）•$\overrightarrow{AO}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AO}$+$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{AO}$）=$\frac{1}{2}$（18+8）=13，
故選：B．

點評 本題主要考查平面向量數(shù)量積的應(yīng)用，著重考查了平面向量的數(shù)量積的運算性質(zhì)和三角形外接圓等知識，屬于中檔題．