Question

在△ABC中，已知A（0，a），B（0，-a），AC，CB兩邊所在的直線(xiàn)分別與x軸交于原點(diǎn)同側(cè)的點(diǎn)M，N，且滿(mǎn)足|OM|•|ON|=4a²（a為不等于零的常數(shù)）
（1）求點(diǎn)C的軌跡方程；
（2）如果存在直線(xiàn)l：y=kx-1（k≠0），使l與點(diǎn)C的軌跡相交于不同的P，Q兩點(diǎn)，且|AP|=|AQ|，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用三點(diǎn)共線(xiàn)兩直線(xiàn)斜率相等將M，N的坐標(biāo)用C的坐標(biāo)表示，將M，N坐標(biāo)代入|OM|•|ON|=4a²，求出C的軌跡方程．
（2）將直線(xiàn)方程與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理得到P，Q的中點(diǎn)，據(jù)中垂線(xiàn)上的點(diǎn)到線(xiàn)段兩端點(diǎn)的距離線(xiàn)段，得到A在PQ的中垂線(xiàn)上，利用兩線(xiàn)垂直，斜率之積為-1，列出方程，代入判別式求出a的范圍．

解答：解：（1）設(shè)點(diǎn)C（x，y）（x≠1）M（x_M，0），N（x_N，0）
當(dāng)y=a時(shí)，AC∥x軸，當(dāng)y=-a時(shí)，BC∥x軸，與題意不符，所以y≠±a；
由A、C、M三點(diǎn)共線(xiàn)有

a-0

0-xM

=

a-y

0-x

，解得x_M=

ax

a-y

同理由B、C、N三點(diǎn)共線(xiàn)，解得x_N=

ax

a+y

∵x_M•x_N＞0，∴|OM|•|ON|=x_M•x_N=

ax

a-y

•

ax

a+y

=4a²，
化簡(jiǎn)得點(diǎn)C的軌跡方程為x²+4y²=4a²（x≠0）
（2）設(shè)PQ的中點(diǎn)為R，

x2+4y2=4a2 y=kx-1

∴（1+4k²）x²-8kx+4-4a²=0，
由△=64k²-4（1+4k²）（1-4a²）＞0，
化簡(jiǎn)得4a²k²+a²-1＞0①x_R=

x1+x2

2

=

4k

1+4k2

，y_R=kx_R-1=

-1

1+4k2

∵|AP|=|AQ|?，即k_AR•k=-1，
∴

a+ 1 1+4k2

0- 4k 1+4k2

•k=1，4ak²+a-3=0，即k²=

3-a

4a

②
∵k≠0，∴k²＞0，∴0＜a＜3把②代入①并化簡(jiǎn)得3a-1＞0?a＞

1

3

當(dāng)a=1時(shí)，直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)B，而曲線(xiàn)C不過(guò)點(diǎn)B，所以直線(xiàn)l與曲線(xiàn)C只有一個(gè)公共點(diǎn)故a=1舍去；
故a的取值范圍是

1

3

＜a＜3且a≠1

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用直接法求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程、考查三點(diǎn)共線(xiàn)兩直線(xiàn)斜率相等、考查二次方程的韋達(dá)定理、中點(diǎn)坐標(biāo)公式．