Question

設(shè)x，y滿足約束條件

x-2y+4≥0 3x-y-3≤0 x≥0，y≥0

，若目標(biāo)函數(shù)z=mx+ny（m＞0，n＞0）的最大值為3，則

3

m

+

2

n

的最小值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：簡(jiǎn)單線性規(guī)劃的應(yīng)用

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：可以作出不等式的平面區(qū)域，推出2m+3n=3，求

3

m

+

2

n

的最小值，先用乘積進(jìn)而用基本不等式解答．

解答： 解：不等式組

x-2y+4≥0 3x-y-3≤0 x≥0，y≥0

表示的平面區(qū)域如圖所示陰影部分，
當(dāng)直線z=mx+ny（m＞0，n＞0）
過直線x-2y+4=0與直線3x-y-3=0的交點(diǎn)（2，3）時(shí)，
目標(biāo)函數(shù)z=mx+ny（m＞0，n＞0）取得最大3，
即2m+3n=3，而

3

m

+

2

n

=

1

3

（

3

m

+

2

n

）（2m+3n）=

1

3

(12+

9n

m

+

4m

n

)≥

1

3

(12+12)=8，當(dāng)且僅當(dāng)

9n

m

=

4m

n

時(shí)去等號(hào)．
故

3

m

+

2

n

的最小值為：8．
故答案為：8．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合地考查了線性規(guī)劃問題和由基本不等式求函數(shù)的最值問題．要求能準(zhǔn)確地畫出不等式表示的平面區(qū)域，并且能夠求得目標(biāo)函數(shù)的最值