Question

已知等差數(shù)列{a_n}的各項均為正數(shù)，a₁=3，前n項和為S_n，{b_n}是等比數(shù)列，b₁=1，b₂S₂=16，b₂+S₃=17．
（1）求{a_n}與{b_n}的通項公式；
（2）求證：

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

＜

3

4

對一切n∈N^*都成立．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（!）設(shè){a_n}的公差為d（d＞0），{b_n}的公比為q，利用等差數(shù)列的求和公式，及等比數(shù)列的通項公式，建立方程組，從而可求數(shù)列{a_n}與{b_n}的通項公式．
（2）確定{S_n}的通項，利用裂項法求和，即可證明結(jié)論．

解答： （1）解：設(shè){a_n}的公差為d（d＞0），{b_n}的公比為q，
則

b2S2=(6+d)q=16 b2+S3=(9+3d)+q=17

解得

d=2 q=2

或

d=- 16 3 q=24

(舍)
∴a_n=3+2（n-1）=2n+1，bn=2n-1
（2）證明：S_n=3+5+…+（2n+1）=n（n+2），
∴

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

=

1

1×3

+

1

2×4

+

1

3×5

+…+

1

n(n+2)

=

1

2

（1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+

1

3

-

1

5

+…+

1

n

-

1

n+2

）
=

1

2

（1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

）=

3

4

-

1

2

（

1

n+1

+

1

n+2

）＜

3

4

．

點評：本題考查數(shù)列的通項與求和，解題的關(guān)鍵是利用基本量法確定數(shù)列的公差與公比．