Question

已知元素為實數(shù)的集合S滿足下列條件：①1、0∉S；②若a∈S，則

1

1-a

∈S
（1）若{2，-2}⊆S，求使元素個數(shù)最少的集合S；
（2）若非空集合S為有限集，則你對集合S的元素個數(shù)有何猜測？并請證明你的猜測正確．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)條件若a∈S，則

1

1-a

∈S，分別利用2，-2∈S，進行推導(dǎo)．（2）要使非空集合S為有限集，則集合元素具備一定規(guī)律性，利用規(guī)律性進行判斷．

解答：解：(1)2∈S⇒

1

1-2

=-1∈S⇒

1

1-(-1)

=

1

2

∈S⇒

1

1- 1 2

=2∈S；----（2分）
-2∈S⇒

1

1-(-2)

=

1

3

∈S⇒

1

1- 1 3

=

3

2

∈S⇒

1

1- 3 2

=-2∈S--------------（3分）
∴使{2，-2}?S的元素個數(shù)最少的集合S為{2，-1，

1

2

，-2，

1

3

，

3

2

}------------（4分）
（2）設(shè)a∈S，則a≠0，1且a∈S⇒

1

1-a

∈S⇒

1

1- 1 1-a

=

a-1

a

∈S⇒

1

1- a-1 a

=a∈S（*）
由于a=

1

1-a

?a2-a+1=0(a≠1)，但a²-a+1=0無實數(shù)根
故a≠

1

1-a

同理

1

1-a

≠

a-1

a

，

a-1

a

≠a∴{a，

1

1-a

，

a-1

a

}⊆S---------------------------------（7分）
若存在b∈S，而b∉{a，

1

1-a

，

a-1

a

}，則{b，

1

1-b

，

b-1

b

}⊆S且{a，

1

1-a

，

a-1

a

}∩{b，

1

1-b

，

b-1

b

}=∅
（若{b，

1

1-b

，

b-1

b

}中有元素∈{a，

1

1-a

，

a-1

a

}，
則利用前述的（*）式可知b∈{a，

1

1-a

，

a-1

a

}）
于是{a，

1

1-a

，

a-1

a

，b，

1

1-b

，

b-1

b

}⊆S------------------------------------------------（9分）
上述推理還可繼續(xù)，由于S為有限集，故上述推理有限步可中止
∴S的元素個數(shù)為3的倍數(shù)．--------------------------------------------------------（10分）

點評：本題主要考查集合元素的確定，利用條件進行推導(dǎo)元素是解決本題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的推理和分析能力．