已知單調(diào)函數(shù)f(x)滿(mǎn)足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且f(3)＝log23，定義域?yàn)镽．

(1)求證f(x)為奇函數(shù)；

(2)若f(x)滿(mǎn)足對(duì)任意實(shí)數(shù)x，f(k·3x)＋f(3x－9x－2)＜0恒成立，求k的取值范圍．

答案：
解析：

　　(1)為了證明f(x)為奇函數(shù)，只須證明對(duì)x∈R，f(－x)＝－f(x)成立．觀察f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，令x＝0，有f(0)＝0，再令y＝－x，則f(0)＝f(x)＋f(－x)，即f(x)＋f(－x)＝0，f(－x)＝－f(x)．故f(x)為奇函數(shù)；

　　(2)由f(x)是奇函數(shù)，且f(k·3x)＋f(3x－9x－2)＜0恒成立，所以f(k·3x)＜－f(3x－9x－2)，即f(k·3x)＜f(9x－3x＋2)①為了確定k的取值范圍，需進(jìn)一步判斷f(x)是單調(diào)遞增或單調(diào)遞減．由于f(3)＝log＞0，而f(0)＝0 那么f(3)＞f(0)，故此函數(shù)為一單調(diào)增函數(shù)，則由①得9x－3x＋2＞k·3k，即(3x)2－(k＋1)·3x＋2＞0②由于3x＞0，使②成立的條件為k＋1≤0，其判別式Δ＜0；當(dāng)k＋1≤0，則k≤－1；當(dāng)Δ＜0，即(k＋1)2－4·2＜0，解得－1－2＜k＜－1＋2，綜上所述，k＜－1＋2．


練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知冪函數(shù)f(x)=x-m2+2m+3(m∈Z)為偶函數(shù)，且在區(qū)間（0，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)．
（I）求函數(shù)f（x）的解析式；
（II）設(shè)函數(shù)g(x)=
1
4
f(x)+ax3+
9
2
x2-b(x∈R)，其中a，b∈R.
（i）若函數(shù)g（x）僅在x=0處有極值，求a的取值范圍；
（ii）對(duì)于任意的a∈[-1，1]，不等式g（x）≤2在[-2，2]上恒成立，求b的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知奇函數(shù)f(x)=
-x2+2x(x＞0)
0，(x=0)
x2+mx(x＜0)

（1）求實(shí)數(shù)m的值，并在給出的直角坐標(biāo)系中畫(huà)出y=f（x）的圖象；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，-2]上單調(diào)遞增，試確定的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知奇函數(shù)f(x)=
-x2+2x，(x＞0)
0，(x=0)
x2+mx，(x＜0)
，
（1）求實(shí)數(shù)m的值
（2）做y=f（x）的圖象（不必寫(xiě)過(guò)程）
（3）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，a-2]上單調(diào)遞增，求a的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知單調(diào)函數(shù)f(x)滿(mǎn)足f(x+y)=f(x)+f(y),且f(3)=log23,定義域?yàn)?B>R.

(Ⅰ)求證f(x)為奇函數(shù)；

(Ⅱ)若f(x)滿(mǎn)足對(duì)任意實(shí)數(shù)x，f(k·3x)+f(3x-9x-2)＜0恒成立，求k的取值范圍.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案