Question

20．設(shè)函數(shù)f（x）=4sinx•sin²（${\frac{π+2x}{4}}$）-sin²x+cos²x．
（1）求函數(shù)f（x）在[0，2π）內(nèi)的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）設(shè)集合A={x|$\frac{π}{6}$≤x≤$\frac{2π}{3}$}，B={x|-2＜f（x）-m＜2}，若A⊆B，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 將函數(shù)化為y=Asin（ωx+φ）的形式，將內(nèi)層函數(shù)放到正弦函數(shù)的增區(qū)間上，解不等式得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；x∈[0，2π），k取不同的值，可得在x∈[0，π]的單調(diào)遞增區(qū)間．
（2）當(dāng)-2＜f（x）-m＜2，在x∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]時(shí)，轉(zhuǎn)化求f（x）+2的最小值，求f（x）-2的值最大值，即可求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答 解：函數(shù)f（x）=4sinx•sin²（${\frac{π+2x}{4}}$）-sin²x+cos²x．
化簡(jiǎn)：f（x）=4sinx•$\frac{1-cos（\frac{π}{2}+x）}{2}$-sin²x+cos²x．
=2sinx（1+sinx）-sin²x+cos²x．
=2sinx+2sin²x-sin²x+cos²x．
=2sinx+1，
∵x∈[0，2π）
由正弦函數(shù)的性質(zhì)可知：x∈[$2kπ-\frac{π}{2}$，$2kπ+\frac{π}{2}$]是單調(diào)遞增區(qū)間，
∴當(dāng)k=0時(shí)，可得[0，$\frac{π}{2}$]是單調(diào)遞增區(qū)間，
當(dāng)k=1時(shí)，可得[$\frac{3π}{2}$，2π]是單調(diào)遞增區(qū)間，
故得f（x）在x∈[0，2π）上的增區(qū)間是[0，$\frac{π}{2}$]和[$\frac{3π}{2}$，2π）．
（2）由（1）可知f（x）=2sinx+1
∵A⊆B
∴則x∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]時(shí)，使-2＜f（x）-m＜2恒成立，轉(zhuǎn)化為：f（x）-2＜m＜2+f（x）恒成立；
等價(jià)于：[f（x）-2]_max＜m＜[2+f（x）]_min
當(dāng)x=$\frac{π}{6}$時(shí)，f（x）取得最小值為2．
當(dāng)x=$\frac{π}{2}$時(shí)，f（x）取得最大值為3．
∴[f（x）-2]_max=1，[2+f（x）]_min=4
故得：1＜m＜4
所以實(shí)數(shù)m的取值范圍（1，4）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)的化簡(jiǎn)能力以及三角函數(shù)性質(zhì)的運(yùn)用解決恒成立問(wèn)題．屬于中檔題．