Question

9．已知直線l₁∥l₂，A是l₁，l₂之間的一定點，并且A點到l₁，l₂的距離分別為1，2，B是直線l₂上一動點，作AC⊥AB且使AC與直線l₁交于點C，則△ABC的面積最小值為（　�。�

• A． 2
• B． 3
• C． 4
• D． 5

Answer 1

分析 如圖所示，建立直角坐標系．直線AB的斜率存在，設方程為：y=kx，k≠0，直線AC的方程為：y=-$\frac{1}{k}$x，
可得△ABC的面積S=$\frac{1}{2}$|AB|•|AC|，再利用基本不等式的性質即可得出．

解答 解：如圖所示，建立直角坐標系．
直線AB的斜率存在，設方程為：y=kx，k≠0．
則直線AC的方程為：y=-$\frac{1}{k}$x，
∴B（2，2k），C$（-1，\frac{1}{k}）$．
∴△ABC的面積S=$\frac{1}{2}$|AB|•|AC|=$\frac{1}{2}\sqrt{4+4{k}^{2}}$×$\sqrt{1+\frac{1}{{k}^{2}}}$=$\sqrt{2+{k}^{2}+\frac{1}{{k}^{2}}}$≥2，
當且僅當k=±1時取等號．
∴△ABC的面積最小值為2．
故選：A．

點評 本題考查了相互垂直的直線斜率之間的關系、三角形面積計算公式、基本不等式的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．