對于三次函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),定義:設(shè)f″(x)是函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù)y=f′(x)的導(dǎo)數(shù),若方程f″(x)=0有實數(shù)解x,則稱點(x,f(x))為函數(shù)y=f(x)的“拐點”.有同學發(fā)現(xiàn)“任何一個三次函數(shù)都有‘拐點’;任何一個三次函數(shù)都有對稱中心;且‘拐點’就是對稱中心.”請你將這一發(fā)現(xiàn)為條件,求
(1)函數(shù)f(x)=x3-3x2+3x對稱中心為   
(2)若函數(shù)g(x)=x3-x2+3x-+,則g()+g()+g()+g()+…+g()=   
【答案】分析:(1)根據(jù)函數(shù)f(x)的解析式求出f′(x)和f″(x),令f″(x)=0,求得x的值,由此求得函數(shù)f(x)=x3-3x2+3x對稱中心.
(2)令h(x)=x3-x2+3x-,m(x)=,則g(x)=h(x)+m(x).利用對稱性求得h()+h()+h()+h()+…+h()=2010,求得m()+m()+m()+m()+…+m()=0,從而求得g(x)=h(x)+m(x)的值.
解答:解:(1)∵函數(shù)f(x)=x3-3x2+3x,∴f′(x)=3x2 -6x+3,∴f″(x)=6x-6.
令 f″(x)=6x-6=0,解得 x=1,且f(1)=1,故函數(shù)f(x)=x3-3x2+3x對稱中心為(1,1),
故答案為 (1,1).
(2)若函數(shù)g(x)=x3-x2+3x-+=x3-x2+3x-+,令h(x)=x3-x2+3x-,m(x)=,則g(x)=h(x)+m(x).
 則h′(x)=x2-x+3,h″(x)=2x-1,令h″(x)=0,可得x=,故h(x)的對稱中心為(,1).
設(shè)點p(x,y)為曲線上任意一點,則點P關(guān)于(,1)的對稱點P′(1-x,2-y)也在曲線上,
∴h(1-x)=2-y0 ,∴h(x)+h(1-x)=y+(2-y)=2.
∴h()+h()+h()+h()+…+h(
=[h()+h()]+[h()+h()]+[h()+h()]+…+[h()+h()]=1005×2=2010.
由于函數(shù)m(x)=的對稱中心為(,0),可得m(x)+m(1-x)=0.
∴m()+m()+m()+m()+…+m(
=[m()+m()]+[m()+m()]+[m()+m()]+…+[m()+m()]=1005×0=0.
∴g()+g()+g()+g()+…+g()=h()+h()+h()+h()+…+h(
+m()+m()+m()+m()+…+m(
=2010+0=2010,
故答案為2010.
點評:本小題主要考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)等知識,考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法,考查化簡計算能力,求函數(shù)的值以及函數(shù)的對稱性的應(yīng)用,屬于難題.
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

對于三次函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0).
定義:(1)設(shè)f″(x)是函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù)y=f′(x)的導(dǎo)數(shù),若方程f″(x)=0有實數(shù)解x0,則稱點(x0,f(x0))為函數(shù)y=f(x)的“拐點”;
定義:(2)設(shè)x0為常數(shù),若定義在R上的函數(shù)y=f(x)對于定義域內(nèi)的一切實數(shù)x,都有f(x0+x)+f(x0-x)=2f(x0)成立,則函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點(x0,f(x0))對稱.
己知f(x)=x3-3x2+2x+2,請回答下列問題:
(1)求函數(shù)f(x)的“拐點”A的坐標
 
;
(2)檢驗函數(shù)f(x)的圖象是否關(guān)于“拐點”A對稱,對于任意的三次函數(shù)寫出一個有關(guān)“拐點”的結(jié)論
 

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2013•昌平區(qū)二模)對于三次函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),給出定義:設(shè)f′(x)是函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù),f″(x)是函數(shù)f′(x)的導(dǎo)數(shù),若方程f″(x)=0有實數(shù)解x0,則稱(x0,f(x0))為函數(shù)y=f(x)的“拐點”.某同學經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn):任何一個三次函數(shù)都有“拐點”;任何一個三次函數(shù)都有對稱中心,且“拐點”就是對稱中心.給定函數(shù)f(x)=
1
3
x3-
1
2
x2+3x-
5
12
,請你根據(jù)上面探究結(jié)果,解答以下問題
(1)函數(shù)f(x)=
1
3
x3-
1
2
x2+3x-
5
12
的對稱中心為
1
2
,1)
1
2
,1)
;
(2)計算f(
1
2013
)+f(
2
2013
)+f(
3
2013
)
+…+f(
2012
2013
)=
2012
2012

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2013•房山區(qū)二模)對于三次函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),給出定義:設(shè)f′(x)是函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù),f″(x)是f′(x)的導(dǎo)數(shù),若方程f″(x)=0有實數(shù)解x0,則稱點(x0,f(x0))為函數(shù)y=f(x)的“拐點”.某同學經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn):任何一個三次函數(shù)都有“拐點”;任何一個三次函數(shù)都有對稱中心,且拐點就是對稱中心.若f(x)=
1
3
x3-
1
2
x2+
1
6
x+1
,則該函數(shù)的對稱中心為
(
1
2
,1)
(
1
2
,1)
,計算f(
1
2013
)+f(
2
2013
)+f(
3
2013
)+…+f(
2012
2013
)
=
2012
2012

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

對于三次函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),定義:設(shè)f''(x)是函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)的導(dǎo)數(shù),若方程f''(x)=0有實數(shù)解x0,則稱點(x0,f(x0))為函數(shù)y=f(x)的“拐點”.有同學發(fā)現(xiàn)“任何一個三次函數(shù)都有‘拐點’;任何一個三次函數(shù)都有對稱中心”,且‘拐點’就是對稱中心.請你將這一發(fā)現(xiàn)作為條件.
(1).函數(shù)f(x)=x3-3x2+3x的對稱中心為
(1,2)
(1,2)

(2).若函數(shù)g(x)=
1
3
x3-
1
2
x2+3x-
5
12
+
1
x-
1
2
,則g(
1
2013
)+g(
2
2013
)+g(
3
2013
)+…+g(
2012
2013
)
=
2012
2012

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2013•安慶三模)對于三次函數(shù)f(x)-ax3+bx2+cx+d(a≠0),給出定義:設(shè)ft(x)是函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù),ftt(x)是函數(shù)ft的導(dǎo)數(shù),若方程ftt(x)=0有實數(shù)解x0,則稱點(x0,f(x0))為函數(shù)y=f(x)的“拐點”.某同學經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn):任何一個一元三次函數(shù)都有“拐點”;且該“拐點”也為該函數(shù)的對稱中心.若f(x)=x3-
3
2
x2+
1
2
x+1,則f(
1
2014
)+f(
2
2014
)+…+f(
2013
2014
)=(  )

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