Question

17．當(dāng)α∈（0，$\frac{π}{2}$）時(shí)，求證：sinα＜α＜tanα．

Answer 1

分析 由條件構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的符號證明函數(shù)的單調(diào)性，由函數(shù)的單調(diào)性比較函數(shù)的值的大小，從而得出結(jié)論．

解答 解：由0＜α＜$\frac{π}{2}$，可得sinα、α、tanα都是正實(shí)數(shù)．
設(shè)f（α）=α-sinα，求導(dǎo)得：f′（α）=1-cosα＞0，
因此，f（α）=α-sinα在α∈（0，$\frac{π}{2}$）上是個(gè)增函數(shù)，
則有f（α）=α-sinα＞f（0）=0，即sinα＜α．
同理，令g（α）=tanα-α，則g′（α）=$\frac{1}{co{s}^{2}α}$-1＞0，
所以，g（α）=tanα-α在α∈（0，$\frac{π}{2}$）上也是個(gè)增函數(shù)，
也有g(shù)（α）=tanα-α＞g（0）=0，即tanα＞α．
綜上，當(dāng)α∈（0，$\frac{π}{2}$）時(shí)，sinα＜α＜tanα．

點(diǎn)評 本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)的符號證明函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)的單調(diào)性比較函數(shù)的值的大小，屬于基礎(chǔ)題．