Question

16．已知函數(shù)f（x）=（x-2）e^x
（I）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（II）函數(shù)g（x）=ax²-2ax，若對(duì)一切x∈（2，+∞）有f（x）≥g（x）恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（Ⅱ）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為a≤$\frac{{e}^{x}}{x}$在x∈（2，+∞）恒成立，令h（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可．

解答 解：（ I）f′（x）=（x-1）e^x，
令f′（x）＞0，解得：x＞1，
令f′（x）＜0，解得：x＜1，
函數(shù)在（-∞，1）上單減，在（1，+∞）上單增；
（ II）若對(duì)一切x∈（2，+∞）有f（x）≥g（x）恒成立，
則（x-2）e^x≥ax（x-2），在（2，+∞）恒成立，
即a≤$\frac{{e}^{x}}{x}$在x∈（2，+∞）恒成立，
令h（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$，則h′（x）=$\frac{{e}^{x}（x-1）}{{x}^{2}}$＞0，x∈（2，+∞），
故h（x）＞h（2）=$\frac{{e}^{2}}{2}$，
則a≤h（2）=$\frac{{e}^{2}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)恒成立問(wèn)題，是一道中檔題．