Question

【題目】設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)，

（1）若，求不等式的解集；

（2）是否存在實(shí)數(shù)a，使得函數(shù)在區(qū)間上既有最大值又有最小值？若存在，求出實(shí)數(shù)a的取值范圍；若不存在，請說明理由；

（3）寫出函數(shù)在R上的零點(diǎn)個數(shù)（不必寫出過程）．

Answer 1

【答案】（1）（2）不存在這樣的實(shí)數(shù),理由見解析（3）見解析

【解析】

（1）代入的值,通過討論的范圍,求出不等式的解集即可；

（2）通過討論的范圍,求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,再求出函數(shù)的最值,得到關(guān)于的不等式組,解出并判斷即可；

（3）通過討論的范圍,判斷函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)即可

（1）當(dāng)時,,

則當(dāng)時,,解得或,故；

當(dāng)時,,解集為,

綜上,的解集為

（2）,顯然,,

①當(dāng)時,則在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,

因?yàn)楹瘮?shù)在上既有最大值又有最小值,

所以,,

則,即,解得,

故不存在這樣的實(shí)數(shù)；

②當(dāng)時,則在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,

因?yàn)楹瘮?shù)在上既有最大值又有最小值,

故,,

則,即,解得,

故不存在這樣的實(shí)數(shù)；

③當(dāng)時,則為上的遞增函數(shù),

故函數(shù)在上不存在最大值和最小值,

綜上,不存在這樣的實(shí)數(shù)

（3）當(dāng)或時,函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)為1；

當(dāng)或時,函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)為2；

當(dāng)時,函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)為3