Question

某次有獎(jiǎng)競(jìng)猜活動(dòng)中，主持人準(zhǔn)備了A、B兩個(gè)相互獨(dú)立的問題，并且宣布：觀眾答對(duì)問題A可獲獎(jiǎng)金a元，答對(duì)問題B可獲獎(jiǎng)金2a元；先答哪個(gè)題由觀眾自由選擇；只有第一個(gè)問題答對(duì)，才能再答第二個(gè)問題，否則終止答題．設(shè)某幸運(yùn)觀眾答對(duì)問題A、B的概率分別為

1

3

、

1

4

．你覺得他應(yīng)先回答哪個(gè)問題才能使獲得獎(jiǎng)金的期望較大？說明理由．

Answer 1

分析：設(shè)該觀眾先答A題所獲獎(jiǎng)金為ξ元，先答B(yǎng)題所獲獎(jiǎng)金為η元，依題意可得ξ可能取的值為：0，a，3a，η的可能取值為：0，2a，3a．Eξ=0×

2

3

+a×

1

4

+3a×

1

12

=

a

2

，Eη=0×

3

4

+2a×

1

6

+3a×

1

12

=

7a

12

．該觀眾應(yīng)先回答B(yǎng)題所獲獎(jiǎng)金的期望較大．

解答：解：設(shè)該觀眾先答A題所獲獎(jiǎng)金為ξ元，先答B(yǎng)題所獲獎(jiǎng)金為η元，（1分）
依題意可得ξ可能取的值為：0，a，3a，η的可能取值為：0，2a，3a
（2分）
∵p（ξ=0）=1-

1

3

=

2

3

，p（ξ=a）=

1

3

×(1-

1

4

)=

1

4

，p（ξ=3a）=

1

3

×

1

4

=

1

12

，
∴Eξ=0×

2

3

+a×

1

4

+3a×

1

12

=

a

2

，（6分）
∵p（η=0）=1-

1

4

=

3

4

，p（η=2a）=

1

4

×(1-

1

3

) =

1

6

，p（η=3a）=

1

4

×

1

3

=

1

12

，
∴Eη=0×

3

4

+2a×

1

6

+3a×

1

12

=

7a

12

（10分）
∵a＞0，∴

a

2

＜

7a

12

，即Eξ＜Eη．
∴該觀眾應(yīng)先回答B(yǎng)題所獲獎(jiǎng)金的期望較大．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查概率的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要注意概率乘法公式的合理運(yùn)用和離散型隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的求法．