Question

4．設(shè)M是焦距為2的橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）上一點(diǎn)，A、B是橢圓E的左、右頂點(diǎn)，直線MA與MB的斜率分別為k₁，k₂，且k₁k₂=-$\frac{1}{2}$．
（1）求橢圓E的方程；
（2）已知橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）上點(diǎn)N（x₀，y₀）處切線方程為$\frac{{x}_{0}x}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}_{0}y}{^{2}}$=1，若P是直線x=2上任意一點(diǎn)，從P向橢圓E作切線，切點(diǎn)分別為C、D，求證直線CD恒過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）設(shè)A（-a，0），B（a，0），M（m，n），代入橢圓方程，運(yùn)用直線的斜率公式，化簡(jiǎn)整理，注意整體代入，解方程即可求得a，b，進(jìn)而得到橢圓方程；
（2）設(shè)點(diǎn)P（2，t），切點(diǎn)C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），運(yùn)用橢圓上一點(diǎn)的切線方程，再代入P點(diǎn)，可得直線CD的方程，再令y=0，即可得到定點(diǎn)．

解答 （1）解：設(shè)A（-a，0），B（a，0），M（m，n），則$\frac{{m}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{n}^{2}}{^{2}}$=1，
即n²=b²•$\frac{{a}^{2}-{m}^{2}}{{a}^{2}}$，
由k₁k₂=-$\frac{1}{2}$，即$\frac{n}{m+a}$•$\frac{n}{m-a}$=-$\frac{1}{2}$，
即有$\frac{{n}^{2}}{{m}^{2}-{a}^{2}}$=-$\frac{1}{2}$，
即為a²=2b²，又c²=a²-b²=1，
解得a²=2，b²=1．
即有橢圓E的方程為$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1；
（2）證明：設(shè)點(diǎn)P（2，t），切點(diǎn)C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
則兩切線方程PC，PD分別為：$\frac{{x}_{1}x}{2}$+y₁y=1，$\frac{{x}_{2}x}{2}$+y₂y=1，
由于P點(diǎn)在切線PC，PD上，故P（2，t）滿足$\frac{{x}_{1}x}{2}$+y₁y=1，$\frac{{x}_{2}x}{2}$+y₂y=1，
得：x₁+y₁t=1，x₂+y₂t=1，
故C（x₁，y₁），D（x₂，y₂）均滿足方程x+ty=1，
即x+ty=1為CD的直線方程．
令y=0，則x=1，
故CD過(guò)定點(diǎn)（1，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)、直線與橢圓的位置關(guān)系，導(dǎo)數(shù)的幾何意義等基本知識(shí)，考查運(yùn)算能力和綜合解題能力．解題時(shí)要注意運(yùn)算能力的培養(yǎng)．