Question

13．已知正項數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n，a_n，$\frac{1}{2}$成等差數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若b_n=log₂a_n+2，設(shè)數(shù)列{$\frac{1}{_{n}_{n+1}}$}的前n項和T_n，證明$\frac{1}{2}≤{T_n}＜1$．

Answer 1

分析 （1）由S_n，a_n，$\frac{1}{2}$成等差數(shù)列，可得2a_n=S_n+$\frac{1}{2}$，利用遞推關(guān)系與等比數(shù)列的通項公式即可得出．
（2）由（1）知${b_n}={log_2}{a_n}+2={log_2}{2^{n-2}}+2=n$，可得$\frac{1}{{{b_n}{b_{n+1}}}}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$．利用“裂項求和方法”與數(shù)列的單調(diào)性即可得出．

解答 解：（1）∵S_n，a_n，$\frac{1}{2}$成等差數(shù)列，∴2a_n=S_n+$\frac{1}{2}$．，
當n=1時，2a₁=a₁+$\frac{1}{2}$，解得a₁=$\frac{1}{2}$．
當n≥2時，2a_n-2a_n-1=${S}_{n}+\frac{1}{2}$-$（{S}_{n-1}+\frac{1}{2}）$，
化為：a_n=2a_n-1．
∴正項數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，公比為2，首項為$\frac{1}{2}$，∴${a_n}={2^{n-2}}$．
（2）證明：由（1）知${b_n}={log_2}{a_n}+2={log_2}{2^{n-2}}+2=n$，∴$\frac{1}{{{b_n}{b_{n+1}}}}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$．
則${T_n}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=1-\frac{1}{n+1}$，
即$\frac{1}{2}≤{T_n}＜1$．

點評 本題考查了遞推關(guān)系與等比數(shù)列的通項公式、“裂項求和方法”與數(shù)列的單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．