Question

2．設(shè)函數(shù)f（x）=x+$\frac{1}{x}$+a為定義在（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函數(shù)．
（1）求實數(shù)a的值；
（2）判斷函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，+∞）上的單調(diào)性，并用定義法證明．

Answer 1

分析 （1）利用函數(shù)奇偶性的定義建立方程f（-x）=-f（x），進行求解即可．
（2）利用函數(shù)單調(diào)性的定義，利用定義法進行證明即可．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=x+$\frac{1}{x}$+a為定義在（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函數(shù)，
∴f（-x）=-f（x），
即-x-$\frac{1}{x}$+a=-x-$\frac{1}{x}$-a，
則a=-a，即a=0．
（2）∵a=0，∴f（x）=x+$\frac{1}{x}$，
f（x）在（1，+∞）內(nèi)是增函數(shù)．
證明：設(shè)x₁，x₂∈（1，+∞）且x₁＜x₂
則$f（{x_1}）-f（{x_2}）={x_1}+\frac{1}{x_1}-{x_2}-\frac{1}{x_2}=（{x_1}-{x_2}）+\frac{{{x_2}-{x_1}}}{{{x_1}{x_2}}}$=$（{x_1}-{x_2}）\frac{{（{x_1}{x_2}-1）}}{{{x_1}{x_2}}}$，
∵x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞1
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂）
故f（x）在（1，+∞）內(nèi)是增函數(shù)．

點評 本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的判斷和應(yīng)用，利用函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的定義是解決本題的關(guān)鍵．